a) Tìm \(x,y \in Z\) thỏa mãn \({(x - y)^2}(8 - xy) + 4 = 12(x - y)\). b) Cho \(n\) là số nguyên dương.

Câu hỏi số 623632:

Vận dụng cao

a) Tìm \(x,y \in Z\) thỏa mãn \({(x - y)^2}(8 - xy) + 4 = 12(x - y)\).

b) Cho \(n\) là số nguyên dương. Chứng minh rằng \({2^n} + 36\) và \({12^{2n}} + 25\) không đồng thời là số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:623632

Phương pháp giải

a) Đặt \(x - y = a,xy = b\)

2) Chứng minh phản chứng, dùng phương pháp đồng dư modun

Giải chi tiết

a) Đặt \(x - y = a,xy = b\) thì \(a,b \in \mathbb{Z}\), ta biến đổi phương trình như sau

\(\begin{array}{l}{(x - y)^2}\left( {8 - xy} \right) + 4 = 12\left( {x - y} \right)\\ \Leftrightarrow {a^2}\left( {8 - b} \right) + 4 = 12a\\ \Leftrightarrow b = \dfrac{{8{a^2} - 12a + 4}}{{{a^2}}} = 8 - \dfrac{{12a - 4}}{{{a^2}}} \in \mathbb{Z}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{12a - 4}}{{{a^2}}} \in \mathbb{Z}\end{array}\)

Suy ra \({a^2}\mid 12a - 4 = 4\left( {3a - 1} \right)\) mà \(\left( {3a - 1,{a^2}} \right) = \left( {3a - 1,a} \right) = 1\) nên \({a^2}\mid 4\).

Từ đây ta được \(a \in \left\{ {1, - 1,2, - 2} \right\}\). Ta xét các trường hợp sau

Nếu \(a = 1\) thế vào (1) ta được \(b = 0\) hay \(x - y = 1\) và \(xy = 0\).

Từ đây ta được các cặp \(\left( {x,y} \right)\) thỏa mãn là \(\left( {0, - 1} \right),\left( {1,0} \right)\).

Nếu \(a = - 1\) thế vào (1) ta được \(b = 24\). Bằng phép thế ta được phương trình \(y\left( {y - 1} \right) = 24\).

Không có \(\left( {x,y} \right)\) thỏa mãn vì phương trình này vô nghiệm nguyên.

Nếu \(a = 2\) thế vào (1) ta được \(b = 3\). Bằng phép thế ta được phương trình

\(\begin{array}{l}y\left( {y + 2} \right) = 3 \Leftrightarrow {y^2} + 2y - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {y - 1} \right)\left( {y + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 1 \Rightarrow x = 3}\\{y = - 3 \Rightarrow x = - 1.}\end{array}} \right.\end{array}\)

Nếu \(a = - 2\) thế vào (1) ta được \(b = 15\). Bằng phép thế ta được phương trình

\(y\left( {y - 2} \right) = 15 \Leftrightarrow {(y - 1)^2} = {4^2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 5 \Rightarrow x = 3}\\{y = - 3 \Rightarrow x = - 5}\end{array}} \right.\)

Vậy tất cả các cặp \(\left( {x,y} \right)\) thỏa mãn là \(\left( {0; - 1} \right),\left( {1;0} \right),\left( {3;1} \right),\left( { - 1;3} \right),\left( {3;5} \right),\left( { - 5; - 3} \right)\).

b) Giả sử tồn tại \(n\) nguyên dương sao cho \({2^n} + 36\) và \({12^{2n}} + 25\) là số chính phương.

Ta lập bảng đồng dư như sau

Do đó ta rút ra được nhận xét: Một số chính phương bất kì chỉ có thể đồng dư 0, 1, 2 hoặc 4 theo modulo 7 ..

Quay trở lại bài toán, vì \({2^n} + 36 \equiv {2^n}\) (mod 3) nên \(n\) phải là số chẵn(vì số chính phương bất kì chỉ có đồng dư 0,1 theo modulo 3 ).

Từ đó ta xét các trường hợp sau.

Nếu \(n = 3k\) với \(k\) chẵn thì \({12^n} + 25 \equiv {5^n} + 4 = {125^k} + 4 \equiv {( - 1)^k} + 4 = 5\left( {{\rm{mod}}7} \right)\) mâu thuẫn với nhận xét.

Nếu \(n = 3k + 1\) với \(k\) lẻ thì \({2^n} + 36 = {2.8^k} + 36 \equiv 2 + 1 = 3\left( {{\rm{mod}}7} \right)\) mâu thuẫn với nhận xét.

Nếu \(n = 3k + 2\) với \(k\) chẵn thì \({2^n} + 36 = {4.8^k} + 36 \equiv 4 + 1 = 5\left( {{\rm{mod}}7} \right)\) mâu thuẫn với nhận xét.

Do đó điều giả sử là sai. Vậy \({2^n} + 36\) và \({12^{2n}} + 25\) không đồng thời là số chính phương với mọi \(n\) nguyên dương.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link