Cho các số thực x, y, z thỏa mãn \(1 \le x,y,z \le 3\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(T

Câu hỏi số 623633:

Vận dụng cao

Cho các số thực x, y, z thỏa mãn \(1 \le x,y,z \le 3\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

\(T = 7x + y + z + 9{y^2} + 2{z^3} - 3xz - 26xyz.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:623633

Giải chi tiết

Theo giả thiết ta có \(1 \le z \le 3 \Rightarrow {(z - 1)^2}\left( {z - 3} \right) \le 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{z^2} - 2z + 1} \right)\left( {z - 3} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow {z^3} - 5{z^2} + 7z - 3 \le 0\\ \Leftrightarrow {z^3} \le 5{z^2} - 7z + 3.\end{array}\)

Cũng theo giả thiết ta có \(\left( {z - 1} \right)\left( {z - 3} \right) \le 0 \Leftrightarrow {z^2} \le 4z - 3\).

Thế vào (1) ta được \(2{z^3} \le 10\left( {4z - 3} \right) - 14z + 6 = 26z - 24\).

Từ đây kết hợp với \(27 - 3x - 26xy \le 27 - 3 - 26 = - 2 < 0\) ta có

\(\begin{array}{l}2{z^3} - 3zx - 26xyz + z \le 26z - 24 - 3zx - 26xyz + z = z\left( {27 - 3x - 26xy} \right) - 24\\\; \le 27 - 3x - 26xy - 24 = 3 - 3x - 26xy\end{array}\)

Từ đây kết hợp với \(4 - 26y < 4 - 26 = - 22 < 0\) ta có

\(\begin{array}{l}T \le 7x + y + 9{y^2} + 3 - 3x - 26xy\\ = 4x + y + 9{y^2} + 3 - 26xy\\ = x\left( {4 - 26y} \right) + y + 9{y^2} + 3\\ \le 4 - 26y + y + 9{y^2} + 3 = 9{y^2} - 25y + 7\end{array}\)

Đến đây áp dụng \({y^2} \le 4y - 3\) (vì \(x,y,z\) bình đẳng) nên ta được

\(T \le 9\left( {4y - 3} \right) - 25y + 7 = 11y - 20 \le 11 \cdot 3 - 20 = 13\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(T = 13\). Dấu bằng xảy ra khi \(x = 1,y = 3,z = 1\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link