Cho biểu thức \(A = \left( {\dfrac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}} - \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{x

Câu hỏi số 623666:

Vận dụng

Cho biểu thức \(A = \left( {\dfrac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}} - \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}}} \right) \cdot \left( {x\sqrt x - \sqrt x } \right)\left( {x \ge 0;x \ne 1} \right)\).

a) Rút gọn biểu thức \(A\).

b) Tìm tất cả số nguyên \(x\) sao cho biểu thức \(A\) nhận giá trị là số nguyên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:623666

Phương pháp giải

Tìm mẫu số chung, quy đồng, rút gọn biểu thức

Đưa bài toán về dạng \(\dfrac{m}{{A\left( x \right)}}\) nguyên khi \(A\left( x \right)\) thuộc ước của m.

Giải chi tiết

a) \(A = \left( {\dfrac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}} - \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}}} \right) \cdot \left( {x\sqrt x - \sqrt x } \right)\)

\( = \left( {\dfrac{{\sqrt x + 2}}{{{{(\sqrt x + 1)}^2}}} - \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right) \cdot \sqrt x \left( {x - 1} \right)\)

\( = \left( {\dfrac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right) - \left( {\sqrt x - 2} \right) \cdot \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{{{(\sqrt x + 1)}^2}\left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right) \cdot \sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)\)

\( = \left( {\dfrac{{x + \sqrt x - 2 - \left( {x - \sqrt x - 2} \right)}}{{{{(\sqrt x + 1)}^2}\left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right) \cdot \sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)\)

\( = \left( {\dfrac{{2\sqrt x }}{{{{(\sqrt x + 1)}^2}\left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right) \cdot \sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right) = \dfrac{{2x}}{{\sqrt x + 1}}\)

b) Ta có

\(A = \dfrac{{2x}}{{\sqrt x + 1}} = 2\sqrt x - 2 + \dfrac{2}{{\sqrt x + 1}}\)

Để \(A\) là số nguyên thì \(2\sqrt x \) và \(\dfrac{2}{{\sqrt x + 1}}\) phải là số nguyên

Ta có \(\dfrac{2}{{\sqrt x + 1}}\) là số nguyên khi \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 1\left( {{\rm{\;loai\;}}} \right)}\end{array}} \right.\)

Thử lại

Với \(x = 0 \Rightarrow A = 0\left( {{\rm{TM}}} \right)\)

Vậy \(x = 0\) thì \(A\) là số nguyên.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link