Cho tập hợp \(A\) gồm 2022 số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2022. Tìm một số tự nhiên \(n\)

Câu hỏi số 623635:

Vận dụng cao

Cho tập hợp \(A\) gồm 2022 số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2022. Tìm một số tự nhiên \(n\) nhỏ nhất sao cho mọi tập hợp con gồm \(n\) phần tử của \(A\) đều chứa 3 phần tử là các số đôi một nguyên tố cùng nhau.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:623635

Giải chi tiết

Trước hết, ta có nhận xét sau: Trong 6 số tự nhiên liên tiếp, nếu ít nhất 5 số được chọn thì ta luôn tìm được 3 số đôi một nguyên tố cùng nhau.

Chứng minh: Gọi 6 số tự nhiên liên tiếp đó là: \(a;a + 1; \ldots ;a + 5\).

Giả sử \(a\) chẵn, ta đặt: \(a = 2k\), khi đó 6 số tự nhiên liên tiếp sẽ là: \(2k; \ldots ;2k + 5\). Ta xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu cả 3 số \(2k + 1;2k + 3;2k + 5\) đều được chọn, ta có 3 số này thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Trường hợp 2: Nếu cả 3 số này có ít nhất 1 số không được chọn, khi đó vì có ít nhât 5 số được chọn nên cả 3 số \(2k;2k + 2;2k + 4\) đều sẽ được chọn.

Và nếu cả 2 số \(2k + 1;2k + 3\) hoặc cả 2 số \(2k + 3;2k + 5\) đều được chọn thì ta lần lượt chọn các số \(2k + 2;2k + 4\).

Khi đó 5 số được chọn đó là: \(2k;2k + 1;2k + 2;2k + 4;2k + 5\).

Đến đây, trong 2 số \(2k + 1;2k + 5\) sẽ có ít nhất 1 số không chia hết cho 3 vì hiệu hai số này là 4 không chia hết cho 3 .

Ta xét \(2k + 1\) chia hết cho 3 . Trường hợp còn lại chứng minh tương tự. Trong trường hợp này, ta chọn 3 số: \(2k + 1;2k + 5;2k + 2\). Còn với \(2k + 5\) chia hết cho 3 thì ta lại chọn: \(2k + 5;2k + 4;2k + 1\).

Trường hợp \(a\) lẻ, ta chứng minh tương tự.

Như vậy nhận xét được chứng minh.

Quay trở lại bài toán, xét \(n = 1349\). Khi đó chia 2022 số tự nhiên thành 337 nhóm: \(\left\{ {1;2;3; \ldots ;6} \right\}, \ldots ,\left\{ {2017;2018; \ldots ;2022} \right\}\).

Khi đó, theo nguyên lí Dirichlet tồn tại ít nhất một nhóm chứa ít nhất 5 phần tử được chọn và theo nhận xét trên thì tồn tại 3 số đôi một nguyên tố cùng nhau.

Ta chứng minh \(n \le 1348\) không thỏa mãn. Thật vậy, ta chọn tất cả các số nhận 2 hoặc 3 làm ước.

Ta tính được có 1011 số chia hết cho 2, 674 số chia hết cho 3, 337 số chia hết cho 6. Vì vậy số số được chọn sẽ là: \(1011 + 674 - 337 = 1348\).

Vậy ta kết luận: \(n = 1349\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link