a) Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d

Câu hỏi số 623667:

Vận dụng

a) Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = kx + 2\). Gọi I là giao điểm của \(\left( d \right)\) và trục tung. Tìm tất cả các giá trị của để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right),B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) thỏa mãn \({x_1} < {x_2}\) và \(IA = 2IB\).

b) Giải hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^3} - x{y^2} - \left( {x - y + 1} \right)\left( {x + y} \right) = 0}\\{x - 2{y^2} - y + 1 = 0}\end{array}} \right.\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:623667

Phương pháp giải

a) Tìm tọa độ I, xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) có 2 nghiệm phân biệt, áp dụng hệ thức viet tìm điều kiện của m thỏa mãn bài toán

b) Đưa phương trình 1 về dạng \(\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy - x + y - 1} \right)\) và chia các trường hợp giải hệ phương trình

Giải chi tiết

a) Vì \(I\) là giao điểm của \(\left( d \right)\) và trục tung nên \(I\left( {0;2} \right)\)

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) là \({x^2} = kx + 2 \Leftrightarrow {x^2} - kx - 2 = 0\left( 1 \right)\)

Ta có \({\rm{\Delta }} = {k^2} + 8 > 0\) với mọi k

Và \({x_1} \cdot {x_2} = - 2 < 0\)

Nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn \({x_1} < 0 < {x_2}\) với mọi \({\rm{k}}\)

Theo hệ thức vi-ét, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = k}\\{{x_1} \cdot {x_2} = - 2}\end{array}} \right.\)

Vì \(IA = 2IB\) nên ta có \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} = 2{x_2}}\\{{x_1} = - 2{x_2}}\end{array}} \right.\)

Mà \({x_1} < 0 < {x_2}\) nên \({x_1} = - 2{x_2}\)

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = k}\\{{x_1} \cdot {x_2} = - 2}\\{{x_1} < 0 < {x_2}}\\{{x_1} = - 2{x_2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2x_2^2 = - 2}\\{{x_1} < 0 < {x_2}}\\{{x_2} = - k}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_2} = 1}\\{k = - 1}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Vậy \(k = - 1\) thõa mãn yêu cầu bài toán.

b) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^3} - x{y^2} - \left( {x - y + 1} \right)\left( {x + y} \right) = 0}\\{x - 2{y^2} - y + 1 = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) - \left( {x - y + 1} \right)\left( {x + y} \right) = 0}\\{x - 2{y^2} - y + 1 = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy - x + y - 1} \right) = 0}\\{x - 2{y^2} - y + 1 = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x + y = 0\\{x^2} - xy - x + y + 1 = 0\end{array} \right.\\x - 2{y^2} - y + 1 = 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 0}\\{x - 2{y^2} - y + 1 = 0}\end{array}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - xy - x + y - 1 = 0}\\{x - 2{y^2} - y + 1 = 0}\end{array}\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)} \right.}\end{array}} \right.} \right.\)

Giải hệ (1) ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 0}\\{x - 2{y^2} - y + 1 = 0}\end{array}\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - y\\ - 2{y^2} - 2y + 1 = 0\end{array} \right.} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{{1 - \sqrt 3 }}{2}}\\{y = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 3 }}{2}}\\{x = \dfrac{{1 + \sqrt 3 }}{2}}\\{y = \dfrac{{ - 1 - \sqrt 3 }}{2}}\end{array}} \right.\)

Giải hệ (2) ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - xy - x + y - 1 = 0}\\{x - 2{y^2} - y + 1 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - xy - \left( {2{y^2} - 1} \right) - 1 = 0\\x - y = 2{y^2} - 1\end{array} \right.} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - xy - 2{y^2} = 0\\x - y = 2{y^2} - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x + y} \right)\left( {x - 2y} \right) = 0\\x - y = 2{y^2} - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = - y\\x - y = 2{y^2} - 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 2y\\x - y = 2{y^2} - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{1 - \sqrt 3 }}{2}\\x = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{1 + \sqrt 3 }}{2}\\x = \dfrac{{ - 1 - \sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\x = \dfrac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm:

\(\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( {\dfrac{{1 - \sqrt 3 }}{2};\dfrac{{ - 1 + \sqrt 3 }}{2}} \right);\left( {\dfrac{{1 + \sqrt 3 }}{2};\dfrac{{ - 1 - \sqrt 3 }}{2}} \right);\left( {2;1} \right);\left( { - 1;\dfrac{{ - 1}}{2}} \right)} \right\}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link