Chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại đỉnh \(B,\,AB = a\), \(SA \bot \left( {ABC}

Câu hỏi số 623833:

Vận dụng cao

Chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại đỉnh \(B,\,AB = a\), \(SA \bot \left( {ABC} \right)\); \(H,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(SC,SB\). Biết góc giữa \(\left( {AHK} \right),\left( {ABC} \right)\) bằng \({45^0}\). Tính thể tích khối tứ diện \(ABHK\).

A. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\).

B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).

C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{24}}\).

D. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{36}}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:623833

Phương pháp giải

Muốn xác định góc giữa hai mặt phẳng ta xác định góc giữa hai vec tơ pháp tuyến của 2 mặt phẳng đó.

Giải chi tiết

Dễ dàng chứng minh: \(SC \bot \left( {AHK} \right) \Rightarrow \overrightarrow {SC} \) là 1 VTPT của mp\(\left( {AHK} \right)\).

Lại có: \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \overrightarrow {SA} \) là 1 VTPT của mp\(\left( {ABC} \right)\).

Ta thấy: \(\left( {\overrightarrow {SA} ;\overrightarrow {SC} } \right) = \widehat {CSA} < {90^0} \Rightarrow \left( {\left( {AHK} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {CSA} = {45^0}\).

\( \Rightarrow \Delta SAC\) vuông cân tại A \( \Rightarrow SA = AC = a\sqrt 2 \).

Thể tích khối chóp \(S.ABC\) là: \(V = \dfrac{1}{3}.SA.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.SA.\dfrac{1}{2}.AB.BC = \dfrac{1}{3}.a\sqrt 2 .\dfrac{1}{2}{a^2} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{6}{a^3}\).

Tam giác SAB vuông cân tại A \(AK \bot SB \Rightarrow K\) là trung điểm của SB.

Tam giác SAC vuông tại A, đường cao AH \( \Rightarrow A{C^2} = HC.SC \Rightarrow \dfrac{{HC}}{{SC}} = {\left( {\dfrac{{AC}}{{SC}}} \right)^2} = \dfrac{{2{a^2}}}{{3{a^2}}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{{HS}}{{CS}} = \dfrac{1}{3}\).

\( \Rightarrow {V_{ABHK}} = \dfrac{1}{3}{V_{C.AKB}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.{V_{C.SAB}}\,\,\left( {do\,{S_{AKB}} = \dfrac{1}{2}{S_{SAB}}} \right)\,\,\, = \dfrac{1}{6}V = \dfrac{1}{6}.\dfrac{{\sqrt 2 }}{6}{a^3} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{36}}\).

Chọn D

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.