Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh đáy bằng a, độ dài cạnh bên

Câu hỏi số 623910:

Vận dụng

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh đáy bằng a, độ dài cạnh bên bằng 2a. Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đó bằng:

A. \(\dfrac{{32\pi }}{{3\sqrt 3 }}{a^3}\).

B. \(\dfrac{{16\pi \sqrt 3 }}{{27}}{a^3}\).

C. \(\dfrac{{32\pi }}{{27}}{a^3}\).

D. \(\dfrac{{32\pi \sqrt 3 }}{{27}}{a^3}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:623910

Phương pháp giải

Gọi M là trung điểm của BC, G, G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC, A’B’C’.

Gọi O là trung điểm của GG’ => O là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.

Sử dụng định lí Pytago tính bán kính mặt cầu.

Thể tích khối cầu bán kính R là \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}.\)

Giải chi tiết

Gọi M là trung điểm của BC, G, G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC, A’B’C’.

Gọi O là trung điểm của GG’ => O là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.

Tam giác ABC đều cạnh a \( \Rightarrow AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AG = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

\(GG' = AA' = 2a \Rightarrow OG = a.\)

Áp dụng định lí Pytago: \(R = OA = \sqrt {O{G^2} + A{G^2}} = \sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{3}} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\).

Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp lăng trụ là: \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{4}{3}\pi {\left( {\dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }}} \right)^3} = \dfrac{{32\pi \sqrt 3 }}{{27}}{a^3}.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.