Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu

Câu hỏi số 623909:

Vận dụng

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 6\) đồng thời song song với hai đường thẳng \({d_1}:\,\,\dfrac{{x - 2}}{3} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{{ - 1}}\), \({d_2}:\,\,\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y + 2}}{1} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 1}}\).

A. \(x - y + 2z + 9 = 0\).

B. \(\left[ \begin{array}{l}x + y + 2z - 3 = 0\\x + y + 2z + 9 = 0\end{array} \right.\).

C. \(x + y + 2z + 9 = 0\).

D. \(\left[ \begin{array}{l}x - y + 2z - 3 = 0\\x - y + 2z + 9 = 0\end{array} \right.\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:623909

Phương pháp giải

Đặt \(t = {x^2} - 2y\), đưa về phương trình ẩn t.

Biện luận và suy ra nghiệm t, từ đó biểu diễn y theo x.

Biểu diễn biểu thức P theo biến x, áp dụng BĐT Cô-si.

Giải chi tiết

Gọi mặt phẳng cần tìm là (P).

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_1}} = \left( {3; - 1; - 1} \right)\\\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;1; - 1} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {2;2;4} \right)\).

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right)//{d_1} \Rightarrow \overrightarrow n \bot \overrightarrow {{u_1}} \\\left( P \right)//{d_2} \Rightarrow \overrightarrow n \bot \overrightarrow {{u_2}} \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow n = \dfrac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {1;1;2} \right)\).

Gọi phương trình mặt phẳng (P) là: \(x + y + 2z + d = 0\).

Mặt cầu (S) có tâm I(1;0;-2), bán kính \(R = \sqrt 6 .\)

Vì (P) tiếp xúc với (S) \( \Rightarrow d\left( {I,\left( P \right)} \right) = R.\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {1 - 4 + d} \right|}}{{\sqrt {1 + 1 + 4} }} = \sqrt 6 \Leftrightarrow \left| {d - 3} \right| = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 9\\d = - 3\end{array} \right.\).

Vậy \(\left( P \right):\,\,\left[ \begin{array}{l}x + y + 2z + 9 = 0\\x + y + 2z - 3 = 0\end{array} \right.\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.