Cho bất phương trình \({\log _7}\left( {{x^2} + 2x + 2} \right) + 1 > {\log _7}\left( {{x^2} + 6x + 5 + m}

Câu hỏi số 623911:

Vận dụng

Cho bất phương trình \({\log _7}\left( {{x^2} + 2x + 2} \right) + 1 > {\log _7}\left( {{x^2} + 6x + 5 + m} \right)\). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để bất phương trình trên có tập nghiệm chứa khoảng (1;3)?

A. 36.

B. 34.

C. vô số.

D. 35.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:623911

Phương pháp giải

Tìm ĐKXĐ.

Giải bất phương trình lôgarit.

Đưa về bài toán giải bất phương trình nghiệm đúng.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \({x^2} + 6x + 5 + m > 0\,\,\forall x \in \left( {1;3} \right)\) \( \Leftrightarrow m > - {x^2} - 6x - 5\,\,\,\forall x \in \left( {1;3} \right)\).

Đặt \(f\left( x \right) = - {x^2} - 6x - 5\) ta có \(f'\left( x \right) = - 2x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = - 3\).

=> Hàm số nghịch biến trên (1;3) \( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = - 12\).

\( \Rightarrow m \ge - 12\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _7}\left( {{x^2} + 2x + 2} \right) + 1 > {\log _7}\left( {{x^2} + 6x + 5 + m} \right)\,\,\forall x \in \left( {1;3} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _7}\left( {7{x^2} + 14x + 14} \right) > {\log _7}\left( {{x^2} + 6x + 5 + m} \right)\,\,\forall x \in \left( {1;3} \right)\\ \Leftrightarrow 7{x^2} + 14x + 14 > {x^2} + 6x + 5 + m\,\,\forall x \in \left( {1;3} \right)\\ \Leftrightarrow 6{x^2} + 8x + 9 > m\,\,\forall x \in \left( {1;3} \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(g\left( x \right) = 6{x^2} + 8x + 9\) ta có \(g'\left( x \right) = 12x + 8 = 0 \Leftrightarrow x = - \dfrac{2}{3}\).

=> Hàm số đồng biến trên (1;3) \( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} g\left( x \right) = g\left( 1 \right) = 23\).

\( \Rightarrow m \le 23\).

Vậy \( - 12 \le m \le 23 \Rightarrow \) Có 36 giá trị nguyên m thoả mãn.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.