Cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm trên \((0; + \infty )\) thỏa

Câu hỏi số 626280:

Vận dụng cao

Cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm trên \((0; + \infty )\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = \dfrac{4}{e}\) và \(\left( {x + 1} \right)f\left( x \right) + xf'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right){e^{ - x}}\) với mọi \(x > 0\). Tính \(\int\limits_1^2 {{e^x}f\left( x \right)dx} \).

A. \(4 - \ln 4\).

B. \(\dfrac{5}{2} - 2\ln 2\).

C. \(4 + \ln 4\).

D. \(\dfrac{5}{2} + 2\ln 2\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:626280

Phương pháp giải

Chia phương trình cho \(x \rightarrow\) đưa về dạng \(f^{\prime}(x)+P(x) f(x)=Q(x)\).
Tích phân \(f(x)=\left(x+1+\dfrac{C}{x}\right) e^{-x}\).
Dùng \(f(1)=\dfrac{4}{e} \rightarrow C\).
Tính \(\int_1^2 e^x f(x) d x\).

Giải chi tiết

\(x f^{\prime}(x)+(x+1) f(x)=(2 x+1) e^{-x}, \quad x>0\).
Chia 2 vế cho \(x\) (vì \(x>0\) ):
\(f^{\prime}(x)+\left(1+\dfrac{1}{x}\right) f(x)=\left(2+\dfrac{1}{x}\right) e^{-x}\)
Ta có \(\left(x e^x f(x)\right)^{\prime}=(2 x+1)\)
Tích phân2 vế: \(x e^x f(x)=x^2+x+C\)
Do đó \(f(x)=\dfrac{x^2+x+C}{x e^x}=\left(x+1+\frac{C}{x}\right) e^{-x}\)
Có \(f(1)=\dfrac{4}{e}\) suy ra \((2+C) e^{-1}=\dfrac{4}{e}\Rightarrow C=2\).
Vậy \(f(x)=\left(x+1+\frac{2}{x}\right) e^{-x}\)
Có \(\int_1^2 e^x f(x) d x=\int_1^2\left(x+1+\dfrac{2}{x}\right) d x=\int_1^2(x+1) d x+2 \int_1^2 \dfrac{d x}{x}\)
\(\int_1^2(x+1) d x=\left[\dfrac{x^2}{2}+x\right]_1^2=\dfrac{5}{2}\), \(\quad 2 \int_1^2 \frac{d x}{x}=2 \ln 2\)
Suy ra \(\int_1^2 e^x f(x) d x=\dfrac{5}{2}+2 \ln 2\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.