Giả sử f(x) là một hàm số có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết rằng \(G(x) = {x^3}\)

Câu hỏi số 627431:

Vận dụng

Giả sử f(x) là một hàm số có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết rằng \(G(x) = {x^3}\) là một nguyên hàm của \(g\left( x \right) = {e^{ - 2x}}f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\). Họ tất cả các nguyên hàm của \({e^{ - 2x}}f'\left( x \right)\) là

A. \( - {x^3} + 3{x^2} + C\).

B. \(2{x^3} + 3{x^2} + C\).

C. \( - 2{x^3} + 3{x^2} + C\).

D. \({x^3} + 3{x^2} + C\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:627431

Phương pháp giải

Vì \(G(x) = {x^3}\) là một nguyên hàm của \(g\left( x \right) = {e^{ - 2x}}f\left( x \right)\) \( \Rightarrow G'\left( x \right) = g\left( x \right)\), tìm f(x).

Tính f’(x) và tìm \({e^{ - 2x}}f'\left( x \right)\).

Sử dụng nguyên hàm cơ bản \(\int {{x^n}dx} = \dfrac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\,\,\left( {n \ne - 1} \right)\).

Giải chi tiết

Vì \(G(x) = {x^3}\) là một nguyên hàm của \(g\left( x \right) = {e^{ - 2x}}f\left( x \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow G'\left( x \right) = g\left( x \right)\\ \Leftrightarrow 3{x^2} = {e^{ - 2x}}f\left( x \right)\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) = 3{x^2}{e^{2x}}\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = 6x{e^{2x}} + 3{x^2}.2{e^{2x}} = \left( {6x + 6{x^2}} \right){e^{2x}}\\ \Rightarrow {e^{ - 2x}}f'\left( x \right) = {e^{ - 2x}}.\left( {6x + 6{x^2}} \right){e^{2x}} = 6x + 6{x^2}\\ \Rightarrow \int {{e^{ - 2x}}f'\left( x \right)dx} = \int {\left( {6x + 6{x^2}} \right)dx} = 3{x^2} + 2{x^3} + C\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.