Cho hình nón \(\left( N \right)\) có chiều cao bằng \(2a\). Cắt \(\left( N \right)\) bởi một mặt phẳng

Câu hỏi số 627572:

Thông hiểu

Cho hình nón \(\left( N \right)\) có chiều cao bằng \(2a\). Cắt \(\left( N \right)\) bởi một mặt phẳng qua đỉnh và cách tâm của đáy một khoảng bằng \(a\) ta được thiết diện bằng \(\dfrac{{4{a^2}\sqrt {11} }}{3}\). Thể tích khối nón đã cho bằng

A. \(\dfrac{{4\pi {a^3}\sqrt 5 }}{3}\).

B. \(\dfrac{{10\pi {a^3}}}{3}\).

C. \(10\pi {a^3}\).

D. \(\dfrac{{4\pi {a^3}\sqrt 5 }}{9}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:627572

Phương pháp giải

- Dựng khoảng cách từ \(O\) đến \(\left( {SAB} \right)\)

- Tính bán kính, chiều cao của khối nón

- Tính thể tích khối nón

Giải chi tiết

Giả sử tam giác \(SAB\) là thiết diện đi qua đỉnh của hình nón \(\left( N \right)\)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\). Kẻ \(OH \bot SI\,\,\left( {H \in SI} \right)\)

Khi đó \(OH \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow d\left( {O,\left( {SAB} \right)} \right) = HO = a\)

Xét tam giác vuông \(SOI\) có \(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{O^2}}} + \dfrac{1}{{O{I^2}}} \Rightarrow \dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{1}{{4{a^2}}} + \dfrac{1}{{O{I^2}}} \Rightarrow OI = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\)

Lại có \(SI = \sqrt {S{O^2} + I{O^2}} = \sqrt {4{a^2} + \dfrac{{4{a^2}}}{3}} = \dfrac{{4a}}{{\sqrt 3 }}\)

Xét tam giác \(SAB\): \(AB = \dfrac{{2{S_{ABC}}}}{{SI}} = \dfrac{{2.\dfrac{{4{a^2}\sqrt {11} }}{3}}}{{\dfrac{{4a}}{{\sqrt 3 }}}} = \dfrac{{2a\sqrt {33} }}{3} \Rightarrow BI = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{a\sqrt {33} }}{3}\)

Xét tam giác \(OIB\): \(OB = \sqrt {O{I^2} + I{B^2}} = \sqrt {\dfrac{{4{a^2}}}{3} + \dfrac{{33{a^2}}}{9}} = a\sqrt 5 \)

Thể tích khối nón là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}SO = \dfrac{1}{3}\pi .5{a^2}.2a = \dfrac{{10\pi {a^3}}}{3}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.