Cho mặt cầu \(S\left( {O;9} \right)\). Một hình nón có đỉnh và đường tròn đáy nằm trên mặt
Cho mặt cầu \(S\left( {O;9} \right)\). Một hình nón có đỉnh và đường tròn đáy nằm trên mặt cầu S. Khi thể tích hình nón lớn nhất, diện tích đường tròn đáy của hình nón thuộc khoảng nào dưới đây?
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Gọi r là bán kính đường tròn đáy, lập hàm tính thể tích nón theo r.
Khảo sát hàm số và tìm r để thể tích lớn nhất.
Từ đó tính diện tích đáy.
Gọi H là tâm của đường tròn đáy.
Thể tích hình nón lớn nhất \( \Rightarrow \) H thuộc tia đối của tia OS.
Giả sử bán kính đáy là r, \(r \in \left[ {0;9} \right]\).
Ta có: \(OH = \sqrt {O{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {{9^2} - {r^2}} \)\( \Rightarrow SH = 9 + \sqrt {81 - {r^2}} \).
\( \Rightarrow {V_{non}} = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}\left( {9 + \sqrt {81 - {r^2}} } \right)\).
Đặt \(t = \sqrt {81 - {r^2}} \Rightarrow {r^2} = 81 - {t^2}\).
\( \Rightarrow {r^2}\left( {9 + \sqrt {81 - {r^2}} } \right) = \left( {81 - {t^2}} \right)\left( {9 + t} \right) = f\left( t \right)\)
Xét \(f\left( t \right) = \left( {81 - {t^2}} \right)\left( {9 + t} \right),t \in \left[ {0;9} \right]\) có
\(f'\left( t \right) = - 2t\left( {9 + t} \right) + \left( {81 - {t^2}} \right) = 81 - 18t - 3{t^2} = - 3\left( {{t^2} + 6t - 27} \right)\).
\(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 9\,\,\left( L \right)\\t = 3\end{array} \right.\).
Hàm số \(f\left( t \right)\) liên tục trên \(\left[ {0;9} \right]\), có
\(\begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 729,f\left( 3 \right) = 864,f\left( 9 \right) = 0\\ \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;9} \right]} f\left( t \right) = f\left( 3 \right) = 864\end{array}\).
\( \Rightarrow {V_{non}}\max = \dfrac{1}{3}\pi .864\) khi \(t = 3\)
\( \Leftrightarrow r = \sqrt {72} \Rightarrow {S_{day}} = 72\pi \approx 226 \in \left[ {220;230} \right]\)
Chọn C
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
