Cho 2 số phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn: \(\left| {z - 2 - i} \right| = 5,\left| {z + 2 + mi} \right| = \left| {z

Câu hỏi số 628712:

Vận dụng

Cho 2 số phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn: \(\left| {z - 2 - i} \right| = 5,\left| {z + 2 + mi} \right| = \left| {z - m + i} \right|\). Giá trị nhỏ nhất của \(P = \left| {{z_1} - {z_2}} \right|\) thuộc khoảng nào sau đây?

A. \(\left[ {6;7} \right]\).

B. \(\left[ {4;5} \right]\).

C. \(\left[ {8;9} \right]\).

D. \(\left[ {5;6} \right]\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:628712

Phương pháp giải

Sử dụng hình học Oxy để giải.

Giải chi tiết

Giả sử: \(z = x + yi\,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\) có điểm biểu diễn là M.

Ta có: \(\left| {z - 2 - i} \right| = 5,\left| {z + 2 + mi} \right| = \left| {z - m + i} \right|\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 25\\{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + m} \right)^2} = {\left( {x - m} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 25\\x\left( {4 + 2m} \right) + y\left( {2m - 2} \right) + 3 = 0\,\,\left( \Delta \right)\end{array} \right.\).

Khi đó: M là giao điểm của đường thẳng\(\,\left( \Delta \right)\) và đường tròn \(C\left( {I\left( {2;1} \right);{\rm{ }}R = 5} \right)\).

Xét: \(\,\left( \Delta \right):x\left( {4 + 2m} \right) + y\left( {2m - 2} \right) + 3 = 0\,\)

\( \Leftrightarrow 2m\left( {x + y} \right) + 4x - 2y + 3 = 0\)

Cho \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\4x - 2y = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \dfrac{1}{2}\\y = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\).

Suy ra, đường thẳng\(\,\left( \Delta \right)\) luôn đi qua \(A\left( { - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\).

Ta có: \(IA = \sqrt {{{\left( {\dfrac{5}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt {26} }}{2} < R \Rightarrow A\) nằm bên trong đường tròn (C).

\(P = \left| {{z_1} - {z_2}} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất

\( \Leftrightarrow {M_1}{M_2}\min \) (\({M_1},{M_2}\) là 2 giao điểm của (C) và d)

\( \Leftrightarrow d\left( {I;d} \right)\,\max \).

Dựng IH vuông góc với d tại H \( \Rightarrow d\left( {I;d} \right) = IH\).

Ta có: \(IH \le IA \Rightarrow d{\left( {I;d} \right)_{\max }} = IA = \dfrac{{\sqrt {26} }}{2}\) khi và chỉ khi H trùng A.

Khi đó: \({M_1}{M_2}\min = 2.\sqrt {{R^2} - {d^2}} = 2.\sqrt {{5^2} - \dfrac{{13}}{2}} \approx 8,6 \in \left[ {8;9} \right]\)

Chọn C

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.