Chứng minh rằng ${\cos ^3}a\cos 3a - {\sin ^3}a\sin 3a = \dfrac{3}{4}\cos 4a + \dfrac{1}{4}$ , với mọi \(x \in

Câu hỏi số 629707:

Vận dụng

Chứng minh rằng ${\cos ^3}a\cos 3a - {\sin ^3}a\sin 3a = \dfrac{3}{4}\cos 4a + \dfrac{1}{4}$ , với mọi $x \in \mathbb{R}$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:629707

Phương pháp giải

Áp dụng công thức biến tích thành tổng

Giải chi tiết

Ta có

$\begin{array}{l}{\cos ^3}a\cos 3a - {\sin ^3}a\sin 3a = (\cos 3a\cos a){\cos ^2}a - (\sin 3a\sin a){\sin ^2}a\\ = \dfrac{1}{2}[\cos 2a + \cos 4a]{\cos ^2}a - \dfrac{1}{2}[\cos 2a - \cos 4a]{\sin ^2}a\\ = \dfrac{1}{2}\cos 2a{\cos ^2}a + \dfrac{1}{2}\cos 4a{\cos ^2}a - \dfrac{1}{2}\cos 2a{\sin ^2}a + \dfrac{1}{2}\cos 4a{\sin ^2}a\\ = \dfrac{1}{2}\cos 2a\left( {{{\cos }^2}a - {{\sin }^2}a} \right) + \dfrac{1}{2}\cos 4a\left( {{{\cos }^2}a + {{\sin }^2}a} \right)\\ = \dfrac{1}{2}\cos 2a\cos 2a + \dfrac{1}{2}\cos 4a\\ = \dfrac{1}{4}(\cos 4a + \cos 0) + \dfrac{1}{2}\cos 4a\\ = \dfrac{3}{4}\cos 4a + \dfrac{1}{4},\forall x \in \mathbb{R}.\end{array}$

Vậy ${\cos ^3}a\cos 3a - {\sin ^3}a\sin 3a = \dfrac{3}{4}\cos 4a + \dfrac{1}{4}$ , với mọi $x \in \mathbb{R}$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.