Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$. Biết hàm số $y = {f^\prime }(5 - 2x)$ có đồ thị

Câu hỏi số 633308:

Vận dụng

Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$. Biết hàm số $y = {f^\prime }(5 - 2x)$ có đồ thị là một Parabol $(P)$ như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = f\left( {2{x^2} + 2x + m} \right)$ nghịch biến trên khoảng $(0;1)$.

A. 4.

B. 1.

C. 3.

D. 2.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:633308

Phương pháp giải

Từ đồ thị xác định hàm số $f'(x)$.

Tìm m để hàm hợp $f'(u)<0$ với x thuộc (0,1) và $u=2 x^2+2 x+m$

Giải chi tiết

Từ đồ thị ta xác định được $y=f^{\prime}(5-2 x)=3 x^2-12 x+6$.

Đặt $5-2 x=t \Rightarrow x=\frac{5-t}{2}$.

Khi đó: $3 x^2-12 x+6=\frac{3}{4}(5-t)^2-6(5-t)+6=\frac{3}{4} t^2-\frac{3}{2} t-\frac{21}{4}=f^{\prime}(t)$.

$f^{\prime}(t)<0 \Leftrightarrow 1-2 \sqrt{2}<t<1+2 \sqrt{2} \Leftrightarrow 1-2 \sqrt{2}<5-2 x<1+2 \sqrt{2} \Leftrightarrow 2-\sqrt{2}<x<2+\sqrt{2} .$

Hàm số $y=g(x)=f\left(2 x^2+2 x+m\right)$ nghịch biến trên khoảng $(0 ; 1)$.

$\Rightarrow g^{\prime}(x)=(4 x+2) f^{\prime}\left(2 x^2+2 x+m\right)<0, \forall x \in(0 ; 1) \Leftrightarrow f^{\prime}\left(2 x^2+2 x+m\right)<0, \forall x \in(0 ; 1)$

(do $4 x+2>0, \forall x \in(0 ; 1)$)

$\Leftrightarrow 2-\sqrt{2}<2 x^2+2 x+m<2+\sqrt{2}, \forall x \in(0 ; 1) \Leftrightarrow-m-\sqrt{2}<2 x^2+2 x-2<-m+\sqrt{2}, \forall x \in(0 ; 1)$.

Đặt $h(x)=2 x^2+2 x-2 \Rightarrow h^{\prime}(x)=4 x+2>0, \forall x \in(0 ; 1)$.

BBT:

Điều kiện bài toán $\Leftrightarrow-m-\sqrt{2}<0<1<-m+\sqrt{2} \Leftrightarrow-\sqrt{2}<m<\sqrt{2}-1 \xrightarrow{m \in Z} m \in\{-1 ; 0\}$.

Vậy có 2 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.