Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P):x + y + 4z - 3 = 0$ và điểm $A(1;1;3)$. Mặt phẳng

Câu hỏi số 633310:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P):x + y + 4z - 3 = 0$ và điểm $A(1;1;3)$. Mặt phẳng (Q) // (P) và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại các điểm $B$ và $C$ sao cho tam giác ABC có diện tích bằng $2\sqrt {22} $. Khoảng cách từ điểm $M(2;2;1)$ đến $(Q)$ bằng

A. $2\sqrt 2 $.

B. $\dfrac{{8\sqrt 6 }}{3}$.

C. $\dfrac{{\sqrt 6 }}{3}$.

D. $\dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:633310

Phương pháp giải

Mặt phẳng $(Q) \|(P) \Rightarrow(Q)$ có dạng: $x+y+4 z+d=0(d \neq-3)$. Từ diện tích tam giác ABC tìm d và tính khoảng cách

Giải chi tiết

Mặt phẳng $(Q) \|(P) \Rightarrow(Q)$ có dạng: $x+y+4 z+d=0(d \neq-3)$.

$(Q) \cap O x=B(-d ; 0 ; 0),(Q) \cap O y=C(0 ;-d ; 0)$.

Do $B, C$ lần lượt thuộc các tia $O x, O y \Rightarrow$ $d<0$.

Ta có: $\overrightarrow{A B}=(-d-1 ;-1 ;-3), \overrightarrow{A C}=(-1 ;-d-1 ;-3) \Rightarrow[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}]=\left(-3 d ;-3 d ; d^2+2 d\right)$.

$S_{\triangle A B C}=2 \sqrt{22} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}|[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}]|=2 \sqrt{22}$

$ \Leftrightarrow 9 d^2+9 d^2+\left(d^2+2 d\right)^2=352 \Leftrightarrow d^4+4 d^3+22 d^2-352=0(*)$

Giải $(*)$ chỉ có $d=-4$ thỏa mãn.

Khi đó ta có phương trình mặt phẳng $(Q): x+y+4 z+4=0$.

Khoảng cách từ điểm $M(2 ; 2 ; 1)$ đến $(Q)$ bằng: $\dfrac{|2+2+4.1+4|}{\sqrt{1^2+1^2+4^2}}=2 \sqrt{2}$.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.