Cho phương trình \({4^x} - (m + 3){2^x} + 8 = 0\) (\(m\) là tham số). Để phương trình

Câu hỏi số 633315:

Vận dụng

Cho phương trình \({4^x} - (m + 3){2^x} + 8 = 0\) (\(m\) là tham số). Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \(\left( {{x_1} + 3} \right)\left( {{x_2} + 3} \right) = 8\) thì giá trị của tham số \(m\) thuộc khoảng nào dưới đây?

A. \((29;30)\).

B. \((27;28)\).

C. \((30;31)\).

D. \((28;29)\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:633315

Phương pháp giải

Đặt \(t = {2^x}\), (\(t > 0\)).

Đưa phương tình đã cho về phương trình bậc hai ẩn \(t\).

Để phương trình ban đầu có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\), phương trình bậc hai theo \(t\) phải có hai nghiệm phân biệt dương \(t_1, t_2\). Điều này xảy ra khi:

+) \(\Delta > 0\)

+) \(P > 0\)

+) \(S > 0\)

Biểu diễn \(x_1, x_2\) theo \(t_1, t_2\).

Sử dụng Vi-ét cho phương trình theo \(t\), giải phương trình tìm \(m\).

Giải chi tiết

Đặt \(t = {2^x}\). Vì \(x \in \mathbb{R}\) nên \(t > 0\).

Phương trình trở thành: \({t^2} - (m + 3)t + 8 = 0\) (1)

Để phương trình ban đầu có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\), phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt dương \(t_1, t_2\).

Điều kiện để (1) có hai nghiệm phân biệt dương \(t_1, t_2\):

1. \(\Delta = {(m + 3)^2} - 4.8 > 0 \Leftrightarrow {(m + 3)^2} - 32 > 0\)

\(\Leftrightarrow (m + 3 - \sqrt{32})(m + 3 + \sqrt{32}) > 0\)

\(\Leftrightarrow (m + 3 - 4\sqrt{2})(m + 3 + 4\sqrt{2}) > 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m > -3 + 4\sqrt{2} \\ m < -3 - 4\sqrt{2} \end{array} \right.\)

2. \(S = t_1 + t_2 = m + 3 > 0 \Leftrightarrow m > -3\)

3. \(P = t_1t_2 = 8 > 0\) (luôn đúng)

Kết hợp các điều kiện trên, ta có \(m > -3 + 4\sqrt{2}\). (Điều kiện (*))

Theo hệ thức Vi-ét cho phương trình (1), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {t_1} + {t_2} = m + 3 \\ {t_1}{t_2} = 8 \end{array} \right.\)

Với \(x_1, x_2\) là hai nghiệm của phương trình ban đầu, ta có:

\({2^{{x_1}}} = {t_1} \Rightarrow {x_1} = {\log _2}{t_1}\); \({2^{{x_2}}} = {t_2} \Rightarrow {x_2} = {\log _2}{t_2}\)

Theo giả thiết: \(\left( {{x_1} + 3} \right)\left( {{x_2} + 3} \right) = 8\) \(\Leftrightarrow {x_1}{x_2} + 3({x_1} + {x_2}) + 1 = 0\)

Thay \(x_1 = {\log _2}{t_1}\) và \(x_2 = {\log _2}{t_2}\) vào:

\(({\log _2}{t_1})({\log _2}{t_2}) + 3({\log _2}{t_1} + {\log _2}{t_2}) + 1 = 0\)

\(\Leftrightarrow ({\log _2}{t_1})({\log _2}{t_2}) + 3{\log _2}({t_1}{t_2}) + 1 = 0\)

Thay \(t_1t_2 = 8\) vào:

\(({\log _2}{t_1})({\log _2}{t_2}) + 3{\log _2}8 + 1 = 0\) \(\Leftrightarrow ({\log _2}{t_1})({\log _2}{t_2}) = -10\)

Có \({\log _2}{t_1} + {\log _2}{t_2} = {\log _2}({t_1}{t_2}) = {\log _2}8 = 3\).

Đặt \(A = {\log _2}{t_1}\) và \(B = {\log _2}{t_2}\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} A + B = 3 \\ AB = -10 \end{array} \right.\)

\(A\) và \(B\) là nghiệm của phương trình \({Y^2} - 3Y - 10 = 0\).

PT có nghiệm \({Y_1} = 5\) và \({Y_2} = -2\).

Do đó, ta có hai trường hợp:

1. \(\left\{ \begin{array}{l} {\log _2}{t_1} = 5 \\ {\log _2}{t_2} = -2 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {t_1} = {2^5} = 32 \\ {t_2} = {2^{-2}} = \dfrac{1}{4} \end{array} \right.\)

2. \(\left\{ \begin{array}{l} {\log _2}{t_1} = -2 \\ {\log _2}{t_2} = 5 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {t_1} = {2^{-2}} = \dfrac{1}{4} \\ {t_2} = {2^5} = 32 \end{array} \right.\)

Trong cả hai trường hợp, tập hợp các nghiệm của phương trình (1) là \(\left\{ {32; \dfrac{1}{4}} \right\}\).

Từ hệ thức Vi-ét, ta có \(t_1 + t_2 = m + 3\).

Thay các giá trị \(t_1, t_2\) vào: \(32 + \dfrac{1}{4} = m + 3 \Rightarrow m = \dfrac{{117}}{4}\)

Ta có \(\dfrac{{117}}{4} = 29,25\).

Vậy giá trị của tham số \(m\) là \(\dfrac{{117}}{4} \in (29; 30)\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.