Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(M(1; - 2;2)\) và \(S(2; - 1;3)\). Mặt phẳng \((P)\) đi qua

Câu hỏi số 633319:

Vận dụng cao

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(M(1; - 2;2)\) và \(S(2; - 1;3)\). Mặt phẳng \((P)\) đi qua \(M\) và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho \(M\) là trực tâm của tam giác ABC. Thể tích của khối chóp S.ABC bằng

A. \(\dfrac{7}{2}\).

B. \(\dfrac{{27}}{8}\).

C. \(\dfrac{{81}}{4}\).

D. \(\dfrac{{27}}{4}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:633319

Phương pháp giải

M là trực tâm tam giác ABC. Các vector cạnh của tam giác là \(\vec{AB}\), \(\vec{BC}\), \(\vec{CA}\).

Các đường cao tương ứng là AM, BM, CM:

+) \(\vec{AM} \bot \vec{BC}\)

+) \(\vec{BM} \bot \vec{AC}\)

+) \(\vec{CM} \bot \vec{AB}\)

Nếu A, B, C nằm trên các trục tọa độ và M là trực tâm tam giác ABC, thì \(OM \perp (ABC)\) (\(\vec{OM}\) là vector pháp tuyến của mặt phẳng (P)).

Viết phương trình mặt phẳng (P) dựa vào \(\vec{OM}\), từ đó định các giao điểm A, B, C với các trục tọa độ.

Sử dụng công thức thể tích khối chóp: \(V_{S.ABC} = \dfrac{1}{6} |[\vec{AB}, \vec{AC}] \cdot \vec{AS}|\)

Giải chi tiết

Gọi \(A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)\) là các giao điểm của mặt phẳng (P) với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz.

Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: \(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1\).

Điểm \(M(1; -2; 2)\) thuộc mặt phẳng (P), nên: \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{-2}{b} + \dfrac{2}{c} = 1\) (1)

M là trực tâm của tam giác ABC. O là gốc tọa độ.

Với tam giác ABC có các đỉnh nằm trên các trục tọa độ, và M là trực tâm, thì vector \(\vec{OM}\) là một vector pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) (hay mặt phẳng (P)).

\(\vec{MA} = (a-1; 2; -2)\); \(\vec{BC} = (0; -b; c)\)

Vì \(AM \perp BC\), ta có \(\vec{MA} \cdot \vec{BC} = 0 \Leftrightarrow (a-1) \cdot 0 + 2 \cdot (-b) + (-2) \cdot c = 0 \Leftrightarrow -2b - 2c = 0 \Leftrightarrow b = -c\).

\(\vec{MB} = (-1; b+2; -2)\); \(\vec{AC} = (-a; 0; c)\)

Vì \(BM \perp AC\), ta có \(\vec{MB} \cdot \vec{AC} = 0 \Leftrightarrow (-1) \cdot (-a) + (b+2) \cdot 0 + (-2) \cdot c = 0 \Leftrightarrow a = 2c\).

Thay \(a = 2c\) và \(b = -c\) vào phương trình (1): \(\dfrac{1}{2c} + \dfrac{-2}{-c} + \dfrac{2}{c} = 1\)

\(\dfrac{9}{2c} = 1 \Rightarrow 2c = 9 \Rightarrow c = \dfrac{9}{2}\).

Suy ra \(a = 2c = 2 \cdot \dfrac{9}{2} = 9\); \(b = -c = -\dfrac{9}{2}\).

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: \(\dfrac{x}{9} + \dfrac{y}{{-\dfrac{9}{2}}} + \dfrac{z}{{\dfrac{9}{2}}} = 1\) \(\Leftrightarrow x - 2y + 2z = 9\).

Suy ra \(A(9; 0; 0)\); \(B(0; -\dfrac{9}{2}; 0)\); \(C(0; 0; \dfrac{9}{2})\). Ta có \([\vec{AB}, \vec{AC}] = \left( { - \dfrac{{81}}{4};\,\,\dfrac{{81}}{2};\,\, - \dfrac{{81}}{2}} \right)\).

Thể tích khối chóp S.ABC là: \(V_{S.ABC} = \dfrac{1}{6} |[\vec{AB}, \vec{AC}] \cdot \vec{AS}|\).

\([\vec{AB}, \vec{AC}] \cdot \vec{AS} = \left( { - \dfrac{{81}}{4}} \right)(-7) + \left( {\dfrac{{81}}{2}} \right)(-1) + \left( { - \dfrac{{81}}{2}} \right)(3)\)

\(V_{S.ABC} = \dfrac{1}{6} \left| { - \dfrac{{81}}{4}} \right| = \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{{81}}{4} = \dfrac{{81}}{{24}} = \dfrac{{27}}{8}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.