Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x - 4y - 2z - 11 = 0$ và điểm

Câu hỏi số 634746:

Vận dụng cao

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x - 4y - 2z - 11 = 0$ và điểm M(0;-2;1). Gọi ${d_1},{d_2},{d_3}$ là ba đường thẳng thay đổi không đồng phẳng cùng đi qua điểm M(0;-2;1) và lần lượt cắt mặt cầu (S) tại điểm thứ hai là A, B, C. Thể tích của tứ diện MABC đạt giá trị lớn nhất bằng

A. $\dfrac{{50\sqrt 3 }}{9}$.

B. $\dfrac{{1000\sqrt 3 }}{{27}}$.

C. $\dfrac{{100\sqrt 3 }}{9}$.

D. $\dfrac{{500\sqrt 3 }}{{27}}$.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:634746

Phương pháp giải

Mặt phẳng chứa ba điểm $A, B, C$ cắt mặt cầu $(\mathrm{S})$ ta được một hình tròn tâm I .

Thể tích của tứ diện $M A B C$ đạt giá trị lớn nhất khi thể tích hình nón đỉnh $M$ có đáy là hình tròn tâm I lớn nhất.

Xét đường tròn đi qua 3 điểm $A, B, C$. Diện tích tam giác ABC lớn nhất khi tam giác ABC đều

Giải chi tiết

Mặt cầu $(S): x^2+y^2+z^2-6 x-4 y-2 z-11=0$ có tâm $(3 ; 2 ; 1)$ bán kính $R=5$

Mặt phẳng chứa ba điểm $A, B, C$ cắt mặt cầu $(\mathrm{S})$ ta được một hình tròn tâm I .

Thể tích của tứ diện $M A B C$ đạt giá trị lớn nhất khi thể tích hình nón đỉnh $M$ có đáy là hình tròn tâm I lớn nhất.

Gọi $h, r$ lần lượt là chiều cao và bán kính đáy hình nón

Ta có: $R=\dfrac{l^2}{2 h} \Rightarrow S=\dfrac{r^2+h^2}{2 h} \Rightarrow 10 h=r^2+h^2 \Rightarrow r=\sqrt{10 h-h^2}$

Thể tích hình nón là:

$V=\dfrac{1}{3} \pi \cdot r^2 \cdot h=\dfrac{1}{3} \pi \cdot\left(10 \mathrm{~h}-h^2\right) \cdot h$

$V^{\prime}=\dfrac{1}{3} \pi \cdot\left(20 \mathrm{~h}-3 h^2\right)=0 \Rightarrow h=\dfrac{20}{3} \Rightarrow r=\dfrac{10 \sqrt{2}}{3}$

Xét đường tròn đi qua 3 điểm $A, B, C$ :

Diện tích tam giác ABC lớn nhất khi tam giác ABC đều

$S_{A B C}=\dfrac{50}{\sqrt{3}} \Rightarrow \operatorname{Max} V_{M A B C}=\dfrac{1}{3} \cdot h \cdot S_{A B C}=\dfrac{1000 \sqrt{3}}{27} .$

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.