Cho biểu thức: \(A = \dfrac{{1 + \cos x}}{{\sin x}}\left[ {1 + \dfrac{{{{\left( {1 - \cos x} \right)}^2}}}{{{{\sin

Câu hỏi số 634949:

Vận dụng

Cho biểu thức: \(A = \dfrac{{1 + \cos x}}{{\sin x}}\left[ {1 + \dfrac{{{{\left( {1 - \cos x} \right)}^2}}}{{{{\sin }^2}x}}} \right]\)

Tính giá trị biểu thức \(A\) nếu \(\cos x = - \dfrac{1}{2}\) và \(\dfrac{\pi }{2} < x < \pi \).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:634949

Phương pháp giải

+ Rút gọn biểu thức \(A\)

+ Áp dụng \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\) và bảng xét dấu để tìm \(\sin x\).

Giải chi tiết

\(A = \dfrac{{1 + \cos x}}{{\sin x}}\left[ {1 + \dfrac{{{{\left( {1 - \cos x} \right)}^2}}}{{{{\sin }^2}x}}} \right]\)

\( = \dfrac{{1 + \cos x}}{{\sin x}} \cdot \dfrac{{{{\sin }^2}x + 1 - 2\cos x + {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}\)

\(\begin{array}{l} = \dfrac{{1 + \cos x}}{{\sin x}} \cdot \dfrac{{2 - 2\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{1 + \cos x}}{{\sin x}} \cdot \dfrac{{2\left( {1 - \cos x} \right)}}{{{{\sin }^2}x}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{2\left( {1 + \cos x} \right)\left( {1 - \cos x} \right)}}{{{{\sin }^3}x}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{2\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)}}{{{{\sin }^3}x}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{2}{{\sin x}}\end{array}\)

Theo đề bài, ta có:

\({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\)\( \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x\)\( \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1 - {\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{3}{4}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\\\sin x = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\)

Mà \(\dfrac{\pi }{2} < x < \pi \) nên \(\sin x > 0 \Rightarrow \sin x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Thay \(\sin x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\) vào biểu thức \(A\) ta có: \(A = \dfrac{2}{{\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{4}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{4\sqrt 3 }}{3}\)

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.