Biết \(\sin \alpha + \cos \alpha = \dfrac{1}{2}\). Tính \(P = 3\sin \alpha + 2\cos \alpha \).

Câu hỏi số 634948:

Vận dụng cao

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:634948

Phương pháp giải

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha + \cos \alpha = \dfrac{1}{2}\\{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\end{array} \right.\) để tìm \(\sin \alpha ,\,\,\cos \alpha \).

Từ đó thay \(\sin \alpha ,\,\,\cos \alpha \) vừa tìm được để tính giá trị của biểu thức \(P\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha + \cos \alpha = \dfrac{1}{2}\\{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha + \cos \alpha = \dfrac{1}{2}\\{\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^2} - 2\sin \alpha \cos \alpha = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha + \cos \alpha = \dfrac{1}{2}\\\sin \alpha \cos \alpha = - \dfrac{3}{8}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha = \dfrac{1}{2} - \cos \alpha \\\sin \alpha \cos \alpha = - \dfrac{3}{8}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha = \dfrac{1}{2} - \cos \alpha \\\left( {\dfrac{1}{2} - \cos \alpha } \right)\cos \alpha = - \dfrac{3}{8}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha = \dfrac{1}{2} - \cos \alpha \\\dfrac{1}{2}\cos \alpha - {\cos ^2}\alpha + \dfrac{3}{8} = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin \alpha = \dfrac{{1 + \sqrt 7 }}{4};\,\,\cos \alpha = \dfrac{{1 - \sqrt 7 }}{4}\\\cos \alpha = \dfrac{{1 + \sqrt 7 }}{4};\,\,\sin \alpha = \dfrac{{1 - \sqrt 7 }}{4}\end{array} \right.\end{array}\)

Thay \(\sin \alpha = \dfrac{{1 + \sqrt 7 }}{4};\,\,\cos \alpha = \dfrac{{1 - \sqrt 7 }}{4}\) vào biểu thức \(P = 3\sin \alpha + 2\cos \alpha \) ta được:

\(P = 3 \cdot \dfrac{{1 + \sqrt 7 }}{4} + 2 \cdot \dfrac{{1 - \sqrt 7 }}{4}\)\( = \dfrac{{3 + 3\sqrt 7 + 2 - 2\sqrt 7 }}{4} = \dfrac{{5 + \sqrt 7 }}{4}\)

Thay \(\sin \alpha = \dfrac{{1 - \sqrt 7 }}{4};\,\,\cos \alpha = \dfrac{{1 + \sqrt 7 }}{4}\) vào biểu thức \(P = 3\sin \alpha + 2\cos \alpha \) ta được:

\(P = 3 \cdot \dfrac{{1 - \sqrt 7 }}{4} + 2 \cdot \dfrac{{1 + \sqrt 7 }}{4}\)\( = \dfrac{{3 - 3\sqrt 7 + 2 + 2\sqrt 7 }}{4} = \dfrac{{5 - \sqrt 7 }}{4}\)

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.