1) Cho phương trình \({x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + 4m - 2 = 0\) (1) (với m là tham số)a) Giải phương

Câu hỏi số 636252:

Vận dụng

1) Cho phương trình \({x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + 4m - 2 = 0\) (1) (với m là tham số)

a) Giải phương trình (1) với m = 0

b) Tìm tất cả giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1}^2 + {x_2}^2 = 13\)

2) Giải phương trình \(\sqrt {x + 1} + \sqrt {4 - x} = \sqrt {2x + 9} \)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:636252

Phương pháp giải

1) a) Thay m = 0, giải phương trình bậc hai bằng cách sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

b) Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm \(\Delta \ge 0\).

Sử dụng định lí Vi-ét: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\).

2) Tìm ĐKXĐ của phương trình. Sử dụng phương pháp bình phương hai vế.

Giải chi tiết

1) Cho phương trình \({x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + 4m - 2 = 0\) (1) (với m là tham số)

a) Giải phương trình (1) với m = 0

Với m = 0 phương trình (1) trở thành

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 2} \right) + \left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 1\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy với m = 0 thì phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ { - 1,2} \right\}\).

b) Tìm tất cả giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1}^2 + {x_2}^2 = 13\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta = {\left( { - \left( {2m + 1} \right)} \right)^2} - 4.\left( {4m - 2} \right)\\\,\,\,\,\, = 4{m^2} + 4m + 1 - 16m + 8\\\,\,\,\,\, = 4{m^2} - 12m + 9\\\,\,\,\,\, = {\left( {2m - 3} \right)^2} \ge 0\,\,\forall m\end{array}\)

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) với mọi m.

Khi đó theo định lí V-iet ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m + 1\\{x_1}.{x_2} = 4m - 2\end{array} \right.\).

Để \({x_1}^2 + {x_2}^2 = 13\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 13\\ \Leftrightarrow {\left( {2m + 1} \right)^2} - 2\left( {4m - 2} \right) = 13\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 4m + 1 - 8m + 4 = 13\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m - 8 = 0\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {m^2} - m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + m - 2m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {m + 1} \right) - 2\left( {m + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {m + 1} \right) = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = - 1\end{array} \right.\) (thỏa mãn \(m \ne \dfrac{3}{2}\))

Vậy \(\left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = - 1\end{array} \right.\).

2) Giải phương trình \(\sqrt {x + 1} + \sqrt {4 - x} = \sqrt {2x + 9} \)

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\4 - x \ge 0\\2x + 9 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\x \le 4\\x \ge - \dfrac{9}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 \le x \le 4\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt {x + 1} + \sqrt {4 - x} = \sqrt {2x + 9} \\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt {4 - x} } \right)^2} = {\left( {\sqrt {2x + 9} } \right)^2}\\ \Leftrightarrow x + 1 + 4 - x + 2\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {4 - x} \right)} = 2x + 9\\ \Leftrightarrow 5 + 2\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {4 - x} \right)} = 2x + 9\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {4 - x} \right)} = 2x + 4\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {4 - x} \right)} = x + 2\)

\( \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {4 - x} \right) = {\left( {x + 2} \right)^2}\) (Do \( - 1 \le x \le 4\) nên \(x + 2 > 0\))

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - {x^2} + 3x + 4 = {x^2} + 4x + 4\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {2x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {0; - \dfrac{1}{2}} \right\}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link