(1,0 điểm): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm của đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN = 3NC. Viết phương trình đường thẳng CD, biết rằng M(1;2) và N (2;-1).

Câu hỏi số 63699:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:63699

Giải chi tiết

Cách 1: Gọi I giao điểm MN và CD

∆ NAM ~ ∆ NCI => $\frac{NA}{NC}=\frac{NM}{NI}$ = 3

=> $\overrightarrow{NI}=\frac{1}{3}\overrightarrow{MN}$

=> $\left\{\begin{matrix} x_{1}-2=\frac{1}{3}(1)\\ y_{1}+1=\frac{1}{3}.(-3) \end{matrix}\right.$

Vậy I ( $\frac{7}{3}$ ; -2)

Gọi $\overrightarrow{n}$ = (a; b) là VTPT của AB

pt (AB) : a (x – 1) + b (y – 2) = 0

pt (CD) : a(x - $\frac{7}{3}$ ) + b(y + 2) = 0

Đặt AB = x (x > 0) => MH = $\frac{x}{4}$ ; NH = $\frac{3}{4}$ x

Ta có : MN² = MH² + NH² => x = 4

d(M; CD) = 4 <=> |-a + 3b| = $3\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ <=> 4a² + 3ab = 0

Với b = 0 => a = 0 (loại)

Với b khác 0 chọn b = 1 => a = 0 hoặc a = - $\frac{3}{4}$

Vậy phương trình CD là : y + 2 = 0 hoặc 3x – 4y - 15 = 0

Cách 2:

Gọi I giao điểm MN và CD

∆ NAM ~ ∆ NCI => $\frac{NA}{NC}=\frac{NM}{NI}$ = 3

=> $\overrightarrow{NI}=\frac{1}{3}\overrightarrow{MN}$

=> $\left\{\begin{matrix} x_{1}-2=\frac{1}{3}(1)\\ y_{1}+1=\frac{1}{3}.(-3) \end{matrix}\right.$

Vậy I ( $\frac{7}{3}$ ; -2)

VTCP của MN là $\overrightarrow{a}$ (1; -3)

VTCP của CD là $\overrightarrow{b}$ (m; n)

cos(MN,CD) = $\frac{1}{\sqrt{10}}$ <=> 8n² – 6mn = 0 <=> n = 0 hay n = $\frac{3m}{4}$

+ TH1: n = 0 => CD : y + 2 = 0

+ TH2: n = $\frac{3m}{4}$ => CD : 3x – 4y – 15 = 0

Cách 3

MN = $\sqrt{10}$

Gọi P là giao điểm của đường MN và đường BC

Gọi Q là hình chiếu vuông góc của N trên BC.

AC = AN + NC = 4NC

NQ / AB = NC / AC = 1/4

→ NQ = AB/4 = MB/2

→ N là trung điểm PM

→ P(x_P; y_P) thỏa x_p = 2x_N – x_M = 3 và y_P = 2y_N – y_M = –4

→ P(3; –4)

Gọi a là cạnh hình vuông ABCD

MB = a/2; NQ = a/4; QC = a/4; BQ = 3a/4; NB = MN = $\sqrt{10}$

Theo pytago: NB² = NQ² + BQ²

→ 10 = a²/16 + 9a²/16 → a = 4

Gọi E là giao điểm của PM và CD

NE/MN = NC/AC = 1/3

→ $\overrightarrow{NE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{MN}$ → x_E = 7/3 và y_E = –2 → E(7/3; –2)

Ta lại có BM = 2 và BN = $\sqrt{10}$

<=> $\left\{\begin{matrix} (1-x_{B})^{2}+(2-y_{B})^{2}=4\\ (2-x_{B})^{2}+(-1-y_{B})^{2}=10 \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix} 2x_{B}-6y_{B}=-6\\ (1-x_{B})^{2}+(2-y_{B})^{2}=4 \end{matrix}\right.$

→ (4 – 3y_B)² + (2 – y_B)² = 4

→ y_B = 2 hoặc y_B = 4/5 → B(3; 2) hoặc B(–3/5; 4/5)

Với B(3; 2): $\overrightarrow{BP}$ = (0; –6)

Đường thẳng CD qua E(7/3; –2) và nhận (0; 1) làm VECTOR PHÁP TUYẾN nên có phương trình là (CD): y + 2 = 0

Với B(–3/5; 4/5): $\overrightarrow{BP}$ = (18/5; –24/5) = (6/5).(3; –4)

Đường thẳng CD qua E(7/3; –2) và nhận (3; –4) làm VECTOR PHÁP TUYẾN nên có phương trình là (CD): 3(x – 7/3) – 4(y + 2) = 0 hay (CD): 3x – 4y – 15 = 0

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.