Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho parabol (P) có phương trình \(y = {x^2}\), đường thẳng (d) có

Câu hỏi số 638288:

Vận dụng

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho parabol (P) có phương trình \(y = {x^2}\), đường thẳng (d) có phương trình \(y = 2x + {m^2} - 4m + 9\) (với m là tham số) và đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) có phương trình \(y = \left( {a - 3} \right)x + 4\) (với a là tham số).

1. Tìm \(a\) để đường thẳng (d) và đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) vuông góc với nhau.

2. Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B với mọi m. Gọi \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right)\), \(B\left( {{x_2},{y_2}} \right)\) (với \({x_1} < {x_2}\)) , tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho \(\left| {{x_1} - 2023} \right| - \left| {{x_2} + 2023} \right| = {y_1} + {y_2} - 48\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:638288

Phương pháp giải

1) Hai đường thẳng \(y = {a_1}x + {b_1}\) và \(y = {a_2}x + {b_2}\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi \({a_1}{a_2} = - 1.\)

2) Xét phương trình hoành độ giao điểm, chứng minh phương trình đó có hai nghiệm phân biệt bằng cách chứng minh \(\Delta ' > 0\).

Chứng minh phương trình có ac < 0 nên có hai nghiệm phân biệt \( \Rightarrow {x_1} < 0 < {x_2}\). Từ đó phá trị tuyệt đối.

Sử dụng định lí Vi-ét cho phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\): \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\).

Giải chi tiết

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho parabol (P) có phương trình \(y = {x^2}\), đường thẳng (d) có phương trình \(y = 2x + {m^2} - 4m + 9\) (với m là tham số) và đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) có phương trình \(y = \left( {a - 3} \right)x + 4\) (với a là tham số).

1. Tìm \(a\) để đường thẳng (d) và đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) vuông góc với nhau.

Để đường thẳng (d) và đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) vuông góc với nhau thì

\(2.\left( {a - 3} \right) = - 1 \Leftrightarrow a - 3 = \dfrac{{ - 1}}{2} \Leftrightarrow a = \dfrac{5}{2}\).

Vậy để \(d \bot \left( \Delta \right) \Rightarrow a = \dfrac{5}{2}\).

2. Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B với mọi m. Gọi \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right)\), \(B\left( {{x_2},{y_2}} \right)\) (với \({x_1} < {x_2}\)) , tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho \(\left| {{x_1} - 2023} \right| - \left| {{x_2} + 2023} \right| = {y_1} + {y_2} - 48\)

Toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là nghiệm của phương trình:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x^2} = 2x + {m^2} - 4m + 9\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x - {m^2} + 4m - 9 = 0\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - 1.\left( { - {m^2} + 4m - 9} \right)\\\,\,\,\,\,\, = {m^2} - 4m + 10\\\,\,\,\,\,\, = {m^2} - 4m + 4 + 6\\\,\,\,\,\,\, = {\left( {m - 4} \right)^2} + 6 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\end{array}\)

Suy ra phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) hay đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B với mọi m.

Áp dụng định lí Vi – ét ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}.{x_2} = - {m^2} + 4m - 9}\\{{x_1} + {x_2} = 2}\end{array}} \right.\)

Ta có: \({x_1}.{x_2} = - {m^2} + 4m - 9 = - {(m - 2)^2} - 5 < 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Rightarrow {x_1} < 0 < {x_2}\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {{x_1} - 2023} \right| - \left| {{x_2} + 2023} \right| = {y_1} + {y_2} - 48\\ \Leftrightarrow - {x_1} + 2023 - {x_2} - 2023 = {y_1} + {y_2} - 48\,\,\left( {do\,\,{x_1} - 2023 < 0,\,\,{x_2} + 2023 > 0} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - {x_1} - {x_2} = x_1^2 + x_2^2 - 48\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}.{x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 48 = 0\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4 + 2{m^2} - 8m + 18 + 2 - 48 = 0\\ \Leftrightarrow 2{m^2} - 8m - 24 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 4m - 12 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 6m - 12 = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {m + 2} \right) - 6\left( {m + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m + 2} \right)\left( {m - 6} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 6}\\{m = - 2}\end{array}} \right.\end{array}\)

Vậy \(m \in \left\{ {6; - 2} \right\}.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link