Trên bảng ta viết đa thức \(P\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\)Ta viết lên bảng

Câu hỏi số 639132:

Vận dụng cao

Trên bảng ta viết đa thức \(P\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\)

Ta viết lên bảng đa thức mới \({P_1}(x) = \dfrac{{P(x + 1) + P(x - 1)}}{2}\) rồi xóa đi đa thức \(P(x)\).

Ta viết lên bảng đa thức mới \({P_2}(x) = \dfrac{{{P_1}(x + 1) + {P_1}(x - 1)}}{2}\) rồi xóa đi đa thức \({P_1}(x)\).

Ta cứ tiếp tục làm như thế nhiều lần.

Chứng minh rằng nếu cứ làm như vậy nhiều lần thì đến một lúc nào đó ta nhận được một đa thức không có nghiệm.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:639132

Phương pháp giải

Xây dựng công thức tổng quát \({P_n}\left( x \right)\) và tìm điều kiện để \({P_n}\left( x \right)\) vô nghiệm.

Giải chi tiết

Ta có:

\({P_1}(x) = \dfrac{{P(x + 1) + P(x - 1)}}{2}\)

\( = \dfrac{{\left[ {a{{(x + 1)}^2} + b(x + 1) + c} \right] + \left[ {a{{(x - 1)}^2} + b(x - 1) + c} \right]}}{2}\)

\( = \dfrac{{a\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + b(x + 1) + c + a\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + b(x - 1) + c}}{2}\)

\( = \dfrac{{a{x^2} + 2ax + a + bx + b + c + a{x^2} - 2ax + a + bx - b + c}}{2}\)

\( = \dfrac{{2a{x^2} + 2bx + 2c + 2a}}{2}\)

\( = a{x^2} + bx + c + a = P\left( x \right) + a\)

\( \Rightarrow {P_2}(x) = \dfrac{{{P_1}(x + 1) + {P_1}(x - 1)}}{2} = \dfrac{{P(x + 1) + a + P(x - 1) + a}}{2} = \dfrac{{P(x + 1) + P(x - 1)}}{2} + a = P\left( x \right) + 2a\)

\({P_3}(x) = \dfrac{{{P_2}(x + 1) + {P_2}(x - 1)}}{2} = \dfrac{{P(x + 1) + 2a + P(x - 1) + 2a}}{2} = \dfrac{{P(x + 1) + P(x - 1)}}{2} + 2a = P\left( x \right) + 3a\)

…

\({P_n}(x) = P\left( x \right) + na = P\left( x \right) + na = a{x^2} + bx + c + na\)

Xét đa thức: \({P_n}(x) = a{x^2} + bx + c + na\) có: \(\Delta = {b^2} - 4a(c + na) = {b^2} - 4ac - 4n{a^2}\)

Đa thức không có nghiệm khi và chỉ \(\Delta < 0 \Leftrightarrow {b^2} - 4ac - 4n{a^2} < 0 \Leftrightarrow n > \dfrac{{{b^2} - 4ac}}{{4{a^2}}}\)

Vậy với \(n > \dfrac{{{b^2} - 4ac}}{{4{a^2}}}\), sau \(n\) lần biến đổi ta nhận được một đa thức không có nghiệm.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link