Cho hàm số \(f(x) = {e^{3x}} + a{e^{2x}} + b{e^x}\) với a, b là các số thực. Biết

Câu hỏi số 640761:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f(x) = {e^{3x}} + a{e^{2x}} + b{e^x}\) với a, b là các số thực. Biết hàm số \(g(x) = f(x) + f'(x)\) có hai giá trị cực trị là 2 và 5. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {g^3}(x)\) và \(\left( { - f(x) + 5{f^\prime }(x) + 2{e^{3x}}} \right){g^2}(x)\) bằng

A. 21.

B. 7.

C. 107.

D. 39.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:640761

Phương pháp giải

Xét \({g^\prime }(x) = 0\) có hai nghiệm m, n và \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{g(n) = 2}\\{g(m) = 5}\end{array}} \right.\).

Tính thể tích bằng tích phân theo m, n

Giải chi tiết

Ta có: \({f^\prime }(x) = 3{e^{3x}} + 2a{e^{2x}} + b{e^x}\).

\( \Rightarrow g(x) = 4{e^{3x}} + 3a{e^{2x}} + 2b{e^x} \Rightarrow {g^\prime }(x) = 12{e^{3x}} + 6a{e^{2x}} + 2b{e^x}\)

Ta có: \({g^\prime }(x) = 2{e^x}\left( {6{e^{2x}} + 3a{e^x} + b} \right) \Rightarrow {g^\prime }(x) = 0 \Leftrightarrow 6{e^{2x}} + 3a{e^x} + b = 0\)

(Đây là một phương trình bậc hai với \({e^x}\) nên có tối đa 2 nghiệm, suy ra \(g(x)\) có tối đa 2 cực trị).

Theo giả thiết ta có phương trình \({g^\prime }(x) = 0\) có hai nghiệm m, n và \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{g(n) = 2}\\{g(m) = 5}\end{array}} \right.\).

Khi đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{e^{3x}} + a{e^{2x}} + b{e^x}} \right) = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{e^{3x}} + a{e^{2x}} + b{e^x}} \right) = + \infty \), mặt khác hàm số \(g(x)\) có tối đa 2 cực trị có giá trị là 2 và 5 nên phương trình \(g(x) = 0\) vô nghiệm.

Xét phương trình: \(\left( { - f(x) + 5{f^\prime }(x) + 2{e^{3x}}} \right){g^2}(x) = {g^3}(x) \Leftrightarrow - f(x) + 5{f^\prime }(x) + 2{e^{3x}} = g(x)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - \left( {{e^{3x}} + a{e^{2x}} + b{e^x}} \right) + 5\left( {3{e^{3x}} + 2a{e^{2x}} + b{e^x}} \right) + 2{e^{3x}} = 4{e^{3x}} + 3a{e^{2x}} + 2b{e^x}\\ \Leftrightarrow 12{e^{3x}} + 6a{e^{2x}} + 2b{e^x} = 0\\ \Leftrightarrow {g^\prime }(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = m}\\{x = n}\end{array}} \right.\end{array}\)

Diện tích hình phẳng cần tính là:

\(S = \left| {\int_m^n {\left[ {\left( { - f(x) + 5{f^\prime }(x) + 2{e^{3x}}} \right){g^2}(x) - {g^3}(x)} \right]} {\rm{d}}x} \right|\)

\(\begin{array}{l} = \left| {\int_m^n {{g^2}} (x)\left( { - f(x) + 5{f^\prime }(x) + 2{e^{3x}} - g(x)} \right){\rm{d}}x} \right|\\ = \left| {\int_m^n {{g^2}} (x){g^\prime }(x){\rm{d}}x} \right|\\ = \left| {\int_m^n {{g^2}} (x){\rm{d}}g(x)} \right|\\ = \left| {\dfrac{1}{3}{g^3}(x)} \right|\begin{array}{*{20}{l}}n\\m\end{array}\left| { = \dfrac{1}{3}} \right|{g^3}(n) - {g^3}(m) = 39\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.