Trên tập hợp số phức, xét phương trình \({z^2} - mz + m + 8 = 0\) (m là tham số thực). Có bao nhiêu

Câu hỏi số 642524:

Vận dụng

Trên tập hợp số phức, xét phương trình \({z^2} - mz + m + 8 = 0\) (m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình có hai nghiệm \({z_1},{z_2}\) phân biệt thỏa mãn \(\left| {{z_1}\left( {z_1^2 + m{z_2}} \right)} \right| = \left( {{m^2} - m - 8} \right)\left| {{z_2}} \right|?\)

A. 5.

B. 11.

C. 12.

D. 6.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:642524

Phương pháp giải

Tính biệt thức \(\Delta \).

TH1: Xét \(\Delta > 0\). Phương trình có hai nghiệm phân biệt. Sử dụng định lí Vi-ét.

TH2: Xét \(\Delta < 0\). Khi đó phương trình có hai nghiệm phức phân biệt và \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|\).

Giải chi tiết

Ta có: \(\Delta = {m^2} - 4m - 32\).

TH1: Xét \(\Delta > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4m - 32 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 8}\\{m < - 4}\end{array}} \right.\).

Khi đó phương trình có hai nghiệm thực phân biệt.

Ta có:

\(\begin{array}{l}z_1^2 = m{z_1} - m - 8\\ \Leftrightarrow z_1^2 + m{z_2} = m\left( {{z_1} + {z_2}} \right) - m - 8 = {m^2} - m - 8\\ \Rightarrow \left| {{z_1}\left( {z_1^2 + m{z_2}} \right)} \right| = \left( {{m^2} - m - 8} \right)\left| {{z_2}} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {{m^2} - m - 8} \right|\left| {{z_1}} \right| = \left( {{m^2} - m - 8} \right)\left| {{z_2}} \right|(*)\end{array}\)

Nếu \({z_1}.{z_2} = 0\) thì \(m + 8 = 0 \Rightarrow m = - 8\) (KTM).

Nếu \({z_1}.{z_2} \ne 0\) thì \((*) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{m^2} - m - 8 > 0}\\{\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{m^2} - m - 8 > 0}\\{{z_1} = - {z_2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{m^2} - m - 8 > 0}\\{m = 0}\end{array}} \right.} \right.\) (vô nghiệm).

TH2: Xét \(\Delta < 0 \Leftrightarrow - 4 < m < 8\).

Khi đó phương trình có hai nghiệm phức phân biệt và \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|\).

Ta có

\(\left| {{z_1}\left( {z_1^2 + m{z_2}} \right)} \right| = \left( {{m^2} - m - 8} \right)\left| {{z_2}} \right| \Leftrightarrow \left| {{m^2} - m - 8} \right|\left| {{z_1}} \right| = \left( {{m^2} - m - 8} \right)\left| {{z_2}} \right|\)

\( \Leftrightarrow {m^2} - m - 8 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge \dfrac{{1 + \sqrt {33} }}{2}}\\{m \le \dfrac{{1 - \sqrt {33} }}{2}}\end{array}} \right.\).

Kết hợp điều kiện ta được \(m \in \{ - 3;4;5;6;7\} \).

Vậy có 5 giá trị nguyên m thoả mãn.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.