Trên tập hợp số phức, xét phương trình ${z^2} - mz + m + 8 = 0$ (m là tham số thực). Có bao nhiêu

Câu hỏi số 642524:

Vận dụng

Trên tập hợp số phức, xét phương trình ${z^2} - mz + m + 8 = 0$ (m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình có hai nghiệm ${z_1},{z_2}$ phân biệt thỏa mãn $\left| {{z_1}\left( {z_1^2 + m{z_2}} \right)} \right| = \left( {{m^2} - m - 8} \right)\left| {{z_2}} \right|?$

A. 5.

B. 11.

C. 12.

D. 6.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:642524

Phương pháp giải

Tính biệt thức $\Delta$ .

TH1: Xét $\Delta > 0$ . Phương trình có hai nghiệm phân biệt. Sử dụng định lí Vi-ét.

TH2: Xét $\Delta < 0$ . Khi đó phương trình có hai nghiệm phức phân biệt và $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|$ .

Giải chi tiết

Ta có: $\Delta = {m^2} - 4m - 32$ .

TH1: Xét $\Delta > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4m - 32 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 8}\\{m < - 4}\end{array}} \right.$ .

Khi đó phương trình có hai nghiệm thực phân biệt.

Ta có:

$\begin{array}{l}z_1^2 = m{z_1} - m - 8\\ \Leftrightarrow z_1^2 + m{z_2} = m\left( {{z_1} + {z_2}} \right) - m - 8 = {m^2} - m - 8\\ \Rightarrow \left| {{z_1}\left( {z_1^2 + m{z_2}} \right)} \right| = \left( {{m^2} - m - 8} \right)\left| {{z_2}} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {{m^2} - m - 8} \right|\left| {{z_1}} \right| = \left( {{m^2} - m - 8} \right)\left| {{z_2}} \right|(*)\end{array}$

Nếu ${z_1}.{z_2} = 0$ thì $m + 8 = 0 \Rightarrow m = - 8$ (KTM).

Nếu ${z_1}.{z_2} \ne 0$ thì $(*) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{m^2} - m - 8 > 0}\\{\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{m^2} - m - 8 > 0}\\{{z_1} = - {z_2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{m^2} - m - 8 > 0}\\{m = 0}\end{array}} \right.} \right.$ (vô nghiệm).

TH2: Xét $\Delta < 0 \Leftrightarrow - 4 < m < 8$ .

Khi đó phương trình có hai nghiệm phức phân biệt và $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|$ .

Ta có

$\left| {{z_1}\left( {z_1^2 + m{z_2}} \right)} \right| = \left( {{m^2} - m - 8} \right)\left| {{z_2}} \right| \Leftrightarrow \left| {{m^2} - m - 8} \right|\left| {{z_1}} \right| = \left( {{m^2} - m - 8} \right)\left| {{z_2}} \right|$

$\Leftrightarrow {m^2} - m - 8 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge \dfrac{{1 + \sqrt {33} }}{2}}\\{m \le \dfrac{{1 - \sqrt {33} }}{2}}\end{array}} \right.$ .

Kết hợp điều kiện ta được $m \in \{ - 3;4;5;6;7\}$ .

Vậy có 5 giá trị nguyên m thoả mãn.

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.