Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \(f(x) - x.f'(x).\ln x = 2{x^2}.{f^2}(x),\,\,\forall x \in (1; + \infty )\). Biết

Câu hỏi số 642534:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \(f(x) - x.f'(x).\ln x = 2{x^2}.{f^2}(x),\,\,\forall x \in (1; + \infty )\). Biết \(f(x) > 0,\forall x \in (1; + \infty )\) và \(f(e) = \dfrac{1}{{{e^2}}}\). Tính diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = x.f(x),y = 0,x = e,x = {e^2}\).

A. \(S = \dfrac{1}{2}\)

B. \(S = 2\)

C. \(S = \dfrac{3}{2}\)

D. \(S = \dfrac{5}{3}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:642534

Phương pháp giải

Biến đổi giả thiết, nguyên hàm hai vế tìm hàm f(x).

Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}f(x) - x.f'(x).\ln x = 2{x^2}.{f^2}(x)\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{x}.f(x) - f'(x).\ln x = 2x.{f^2}(x)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\dfrac{1}{x}.f(x) - f'(x).\ln x}}{{{f^2}(x)}} = 2x\\ \Leftrightarrow \left( {\dfrac{{\ln x}}{{f(x)}}} \right) = 2x\\ \Rightarrow \dfrac{{\ln x}}{{f(x)}} = \int 2 xdx\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\ln x}}{{f(x)}} = {x^2} + C.\end{array}\)

Ta có \(\dfrac{{\ln e}}{{f(e)}} = {e^2} + C \Rightarrow C = 0 \Rightarrow f(x) = \dfrac{{\ln x}}{{{x^2}}} \Rightarrow y = x \cdot f(x) = \dfrac{{\ln x}}{x}\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = \dfrac{{\ln x}}{x},\,\,y = 0,\,\,x = e,\,\,x = {e^2}\) là

\(S = \int\limits_e^{{e^2}} {\left| {\dfrac{{\ln x}}{x}} \right|dx} = \int\limits_e^{{e^2}} {\dfrac{{\ln x}}{x}dx} = \int\limits_e^{{e^2}} {\ln xd(\ln x)} = \left. {\dfrac{1}{2}{{(\ln x)}^2}} \right|_e^{{e^2}} = \dfrac{3}{2}.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.