Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên dương \((x;y)\) với \(y \le 20\) thỏa mãn:\({\log _{2023}}\dfrac{{x

Câu hỏi số 642535:

Vận dụng cao

Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên dương \((x;y)\) với \(y \le 20\) thỏa mãn:

\({\log _{2023}}\dfrac{{x + 1}}{{y + 1}} + {x^2}{y^2} + 2x{y^2} \le (y + 2){y^3}?\)

A. 380

B. 210

C. 420

D. 200

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:642535

Phương pháp giải

Xét hàm đặc trưng.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}{\log _{2023}}\dfrac{{x + 1}}{{y + 1}} + {x^2}{y^2} + 2x{y^2} \le (y + 2){y^3}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{\log _{2023}}\dfrac{{{{(x + 1)}^2}}}{{{{(y + 1)}^2}}} + {y^2}\left( {{x^2} + 2x} \right) \le {y^2}\left( {{y^2} + 2y} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{\log _{2023}}\dfrac{{{y^2}{{(x + 1)}^2}}}{{{y^2}{{(y + 1)}^2}}} + {y^2}{(x + 1)^2} \le {y^2}{(y + 1)^2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{\log _{2023}}\left[ {{y^2}{{(x + 1)}^2}} \right] + {y^2}{(x + 1)^2} \le \dfrac{1}{2}{\log _{2023}}\left[ {{y^2}{{(y + 1)}^2}} \right] + {y^2}{(y + 1)^2}\,\,\,(1).\end{array}\)

Xét hàm số \(f(t) = \dfrac{1}{2}{\log _{2023}}t + t\) ta có \(f'(t) = \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{{\ln 2023.t}} + 1 > 0,\,\,\forall t > 0\).

Nên \(f(t)\) đồng biến trên \((0; + \infty )\), khi đó:

\((1) \Leftrightarrow {y^2}{(x + 1)^2} \le {y^2}{(y + 1)^2} \Leftrightarrow x + 1 \le y + 1 \Leftrightarrow x \le y(x,y > 0)\).

Với \(y = n(1 \le n \le 20)\) thì ta có được \(n\) giá trị nguyên dương \(x\) tương ứng.

Nên số cặp nguyên dương \((x;y)\) thỏa mãn là \(\sum\limits_{k = 1}^{20} k = 210\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.