Có bao nhiêu giá trị thực không âm của tham số m để đồ thị của hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3}

Câu hỏi số 642959:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu giá trị thực không âm của tham số m để đồ thị của hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - \dfrac{1}{2}(m + 1){x^2} + mx\) có hai điềm cực trị A và B sao cho A, B nằm khác phía và cách đều đường thẳng \(d:y = - x + \dfrac{5}{{12}}\)?

A. 0 .

B. 3 .

C. 1 .

D. 2 .

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:642959

Giải chi tiết

Ta có: \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - \dfrac{1}{2}(m + 1){x^2} + mx \Rightarrow y' = {x^2} - (m + 1)x + m\).

Để hàm số có 2 điểm cực trị điều kiện là \({\Delta _{y'}} > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 > 0 \Leftrightarrow m \ne 1\,\,\,(a)\).

Giải phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = m}\end{array}} \right.\).

Với điều kiện \(m \ne 1 \Rightarrow y' = 0\) có 2 nghiệm Khi đó \(A\left( {1;\dfrac{{3m - 1}}{6}} \right),B\left( {m;\dfrac{{ - {m^3} + 3{m^2}}}{6}} \right)\).

Để A, B nằm khác phía và cách đều đường thẳng \(d:y = - x + \dfrac{5}{{12}}\) điều kiện là

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(6m + 5)\left( { - 2{m^3} + 6{m^2} + 12m - 5} \right) < 0}\\{|6m + 5| = \left| { - 2{m^3} + 6{m^2} + 12m - 5} \right|}\end{array}} \right.\\ \Rightarrow 2{m^3} - 6{m^2} - 12m + 5 = 6m + 5 \Leftrightarrow 2{m^3} - 6{m^2} - 18m = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 0}\\{m = \dfrac{{3 + 3\sqrt 5 }}{2}}\\{m = \dfrac{{3 - 3\sqrt 5 }}{2} < 0}\end{array}} \right.\end{array}\)

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.