Trên tập hợp số phức, xét phương trình \({z^2} - 2(2m - 1)z + {m^2} = 0\) ( \(m\) là số thực). Khi

Câu hỏi số 642958:

Vận dụng cao

Trên tập hợp số phức, xét phương trình \({z^2} - 2(2m - 1)z + {m^2} = 0\) ( \(m\) là số thực). Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt \({z_1},{z_2}\) sao cho biểu thức \(T = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} - 10\left| {{z_1}{z_2}} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị \(m\) thuộc khoảng nào sau đây?

A. \(\left( {\dfrac{3}{2};3} \right)\).

B. \([1;2)\).

C. \(( - 1;1)\).

D. \((2; + \infty )\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:642958

Giải chi tiết

Xét phương trình \({z^2} - 2(2m - 1)z + {m^2} = 0\)

Ta có \(\Delta ' = {(2m - 1)^2} - {m^2}\).

TH1: Phương trình có hai nghiệm phức có phần ảo bằng không \(\Delta ' = {(2m - 1)^2} - {m^2} > 0\).

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{z_1} + {z_2} = 4m - 2}\\{{z_1}{z_2} = {m^2}}\end{array}} \right.\) nên phương trình có hai nghiệm cùng dấu, khi đó:

\(T = {\left( {{z_1} + {z_2}} \right)^2} - 12{z_1}{z_2} = {(4m - 2)^2} - 12{m^2} = 4{m^2} - 16m + 4 \ge 4{(m - 2)^2} - 12 \ge - 12.\)

Đẳng thức xảy ra khi \(m = 2\) (nhận).

TH2: Phương trình có hai nghiệm phức có phần ảo khác không

\(\Delta ' = {(2m - 1)^2} - {m^2} < 0\)\( \Leftrightarrow (m - 1)(3m - 1) < 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{3} < m < 1\).

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{z_1} + {z_2} = 4m - 2}\\{{z_1}{z_2} = {{\left| {{z_1}} \right|}^2} = {{\left| {{z_2}} \right|}^2} = {m^2}}\end{array}} \right.\), khi đó: \(T = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} - 10\left| {{z_1}{z_2}} \right| = - 8{\left| {{z_1}} \right|^2} = - 8{m^2} \Rightarrow - 8 < T < \dfrac{{ - 8}}{3}\) (loại).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(T = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} - 10\left| {{z_1}{z_2}} \right|\) là -12 khi \(m = 2\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.