Với \(ab > 1\). Hãy so sánh \(\dfrac{1}{{1 + {a^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^2}}}\) và \(\dfrac{2}{{1 +

Câu hỏi số 643449:

Vận dụng

Với \(ab > 1\). Hãy so sánh \(\dfrac{1}{{1 + {a^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^2}}}\) và \(\dfrac{2}{{1 + ab}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:643449

Phương pháp giải

Xét hiệu và chứng minh \(\dfrac{1}{{1 + {a^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^2}}} - \dfrac{2}{{1 + ab}} \ge 0\)

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{1 + {a^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^2}}} - \dfrac{2}{{1 + ab}}\\ = \dfrac{{\left( {1 + ab} \right)\left( {1 + {b^2}} \right) + \left( {1 + ab} \right)\left( {1 + {a^2}} \right) - 2\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)}}{{\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)\left( {1 + ab} \right)}}\\ = \dfrac{{1 + {b^2} + ab + a{b^3} + 1 + {a^2} + ab + {a^3}b - 2{a^2} - 2{b^2} - 2 - 2{a^2}{b^2}}}{{\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)\left( {1 + ab} \right)}}\\ = \dfrac{{2ab + a{b^3} + {a^3}b - {a^2} - {b^2} - 2{a^2}{b^2}}}{{\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)\left( {1 + ab} \right)}}\\ = \dfrac{{ab\left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) - \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right)}}{{\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)\left( {1 + ab} \right)}}\end{array}\)

\( = \dfrac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}\left( {ab - 1} \right)}}{{\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)\left( {1 + ab} \right)}} \ge 0\) (do \(ab \ge 1\))

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{1 + {a^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^2}}} - \dfrac{2}{{1 + ab}} \ge 0\) hay \(\dfrac{1}{{1 + {a^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^2}}} \ge \dfrac{2}{{1 + ab}}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link