(1,6 điểm) Cho dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) thỏa mãn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} = -

Câu hỏi số 645151:

Thông hiểu

(1,6 điểm) Cho dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) thỏa mãn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} = - 1,{x_2} = 13,}\\{{x_{n + 2}} = - {x_{n + 1}} + 6{x_n};\forall n \ge 1}\end{array}} \right.\).

a) Tìm công thức tổng quát của dãy \(\left( {{x_n}} \right)\).

b) Chứng minh rằng nếu \(n\) là số nguyên tố thì \({x_n} + 1\) chia hết cho \(n\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:645151

Phương pháp giải

Xét phương trình đặc trưng, tìm nghiệm và xác định công thức tổng quát của dãy số.

Giải chi tiết

a) Xét phương trình đặc trưng \({x^2} = - x + 6 \Leftrightarrow {x^2} + x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 3\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {u_n} = a{.2^n} + b.{\left( { - 3} \right)^n}\)

Do \({x_1} = - 1,{x_2} = 13\) nên ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l} - 1 = a.2 + b.\left( { - 3} \right)\\13 = a{.2^2} + b.{\left( { - 3} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\end{array} \right. \Rightarrow {u_n} = {2^n} + {\left( { - 3} \right)^n}\)

Vậy công thức tổng quát của dãy là \({u_n} = {2^n} + {\left( { - 3} \right)^n}\)

b) Ta có \({u_n} + 1 = {2^n} + {\left( { - 3} \right)^n} + 1\)

Với n nguyên tố, theo Ferma ta có \({2^n} = 2\left( {\bmod n} \right),{\left( { - 3} \right)^n} = 3\left( {\bmod n} \right),{1^n} = 1\left( {\bmod n} \right)\)

\( \Rightarrow {2^n} + {\left( { - 3} \right)^n} + 1 = 2 + \left( { - 3} \right) + 1\left( {\bmod n} \right) = 0\left( {\bmod n} \right)\)

Chứng tỏ \({u_n} + 1 = {2^n} + {\left( { - 3} \right)^n} + 1\) chia hết cho n với n nguyên tố.

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10