(ID : 64570 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = a. Cạnh bên SC tạo với đáy một góc thỏa mãn . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SD và SB. Biết rằng 2 mặt phẳng (SAB) và (SAD)) cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp C.AMN và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM và BD.

Câu hỏi số 64570:

(ID : 64570 )

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a $\dpi{100} \sqrt{3}$ , AD = a. Cạnh bên SC tạo với đáy một góc $\dpi{100} \alpha$ thỏa mãn $\dpi{100} cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{7}}$ . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SD và SB. Biết rằng 2 mặt phẳng (SAB) và (SAD)) cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp C.AMN và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM và BD.

A. $\dpi{100} V_{C.AMN}= \frac{a^{3}}{4}$ ; d(AM,BD) = $\dpi{100} \frac{2a\sqrt{15}}{5}$

B. $\dpi{100} V_{C.AMN}= \frac{a^{3}}{4}$ ; d(AM,BD)= $\dpi{100} \frac{a\sqrt{15}}{5}$

C. $\dpi{100} V_{C.AMN}= \frac{2a^{3}}{4}$ ; d(AM,BD) = $\dpi{100} \frac{2a\sqrt{15}}{5}$

D. $\dpi{100} V_{C.AMN}= \frac{2a^{3}}{4}$ ; d(AM,BD)= $\dpi{100} \frac{a\sqrt{15}}{5}$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:64570

Giải chi tiết

Vì 2 mặt phẳng (SAB) và (SAD)) cùng vuông góc với đáy nên SA ⊥ (ABCD)

Từ đó suy ra $\dpi{100} (\widehat{SC,(ABCD))}$ = $\dpi{100} \widehat{SCA}$ = $\dpi{100} \alpha$

Ta có: AC = $\dpi{100} \sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{3a^{2}+a^{2}}=2a$

Trong tam giác vuông SAC có SC = $\dpi{100} \frac{AC}{cos\alpha }$ = $\dpi{100} a\sqrt{7}$

Trong tam giác vuông SAC ta có SA = $\dpi{100} \sqrt{SC^{2}-AC^{2}}$ = $\dpi{100} a\sqrt{3}$

Từ đó suy ra:

$\dpi{100} V_{SABCD}= \frac{1}{3}.a\sqrt{3}.a\sqrt{3}.a=a^{3}$

Ta có: $\dpi{100} V_{C.AMN}=V_{S.ABCD}-V_{S.CMN}-V_{N.ABC}-V_{MACD}-V_{S.AMN}$

$\dpi{100} = V_{S.ABCD}(1-\frac{1}{8}-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-\frac{1}{8})$

$\dpi{100} = \frac{1}{4}V_{SABCD}$

= $\dpi{100} \frac{a^{3}}{4}$

Tam giác AMN có AN = MN = a; AN = $\dpi{100} \frac{a\sqrt{6}}{2}$

Nên có diện tích bằng $\dpi{100} \frac{a^{2}\sqrt{15}}{8}$

=> d(C,(AMN)) = $\dpi{100} \frac{3V_{C.AMN}}{S_{AMN}}= \frac{2a\sqrt{15}}{5}$

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có:d(AM,BD) = d (BD, (AMN)) = d (O, (AMN)) = 1/2. d(C, (AMN)) = $\dpi{100} \frac{a\sqrt{15}}{5}$

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.