Biết \(\sin \alpha + \cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\). Trong các kết quả sau, kết quả nào

Câu hỏi số 648061:

Vận dụng

Biết \(\sin \alpha + \cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\). Trong các kết quả sau, kết quả nào sai?

A. \(\sin \alpha .\cos \alpha = -\dfrac{1}{4}\).

B. \(\sin \alpha - \cos \alpha = \pm \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}\).

C. \({\sin ^4}\alpha + {\cos ^4}\alpha = \dfrac{7}{8}\).

D. \({\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha = 12\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:648061

Phương pháp giải

Bình phương 2 vế của \(\sin \alpha + \cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\) và \( \Rightarrow \sin \alpha \cos \alpha = - \dfrac{1}{4}\)

Giải chi tiết

Ta có \(\sin \alpha + \cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)\( \Rightarrow {\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^2} = \dfrac{1}{2}\)\( \Rightarrow 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha = \dfrac{1}{2}\)\( \Rightarrow \sin \alpha \cos \alpha = - \dfrac{1}{4}\)

\( \Rightarrow {\left( {\sin \alpha - \cos \alpha } \right)^2} = 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha = 1 - 2\left( { - \dfrac{1}{4}} \right) = \dfrac{6}{4}\)\( \Rightarrow \sin \alpha - \cos \alpha = \pm \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}\)

\( \Rightarrow {\sin ^4}\alpha + {\cos ^4}\alpha = {\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)^2} - 2{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha = 1 - 2{\left( { - \dfrac{1}{4}} \right)^2} = \dfrac{7}{8}\)

\( \Rightarrow {\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha = \dfrac{{{{\sin }^4}\alpha + {{\cos }^4}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha }} = \dfrac{{\dfrac{7}{8}}}{{{{\left( { - \dfrac{1}{4}} \right)}^2}}} = 14\)

Như vậy, \({\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha = 12\) là kết quả sai.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.