Tìm \(a\) để phương trình \(\left( {a - 1} \right)\cos x = 1\) có nghiệm.

Câu hỏi số 648260:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:648260

Phương pháp giải

- Biện luận phương trình bậc nhất \(ax + b = 0\).

- Sử dụng tính chất: \( - 1 \le \cos x \le 1\) \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Giải chi tiết

TH1: \(a - 1 = 0 \Leftrightarrow a = 1\), khi đó phương trình trở thành \(0.\cos x = 1\) (Vô nghiệm).

TH2: \(a - 1 \ne 0 \Leftrightarrow a \ne 1\), khi đó ta có \(\cos x = \dfrac{1}{{a - 1}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {a \ne 1} \right)\).

Vì \( - 1 \le \cos x \le 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \mathbb{R}\) \( \Rightarrow {\rm{\;}} - 1 \le \dfrac{1}{{a - 1}} \le 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \mathbb{R}\).

.\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{1}{{a - 1}} \ge - 1}\\{\dfrac{1}{{a - 1}} \le 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{1 + a - 1}}{{a - 1}} \ge 0}\\{\dfrac{{1 - a + 1}}{{a - 1}} \le 0}\end{array}} \right.}\\{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{a}{{a - 1}} \ge 0}\\{\dfrac{{2 - a}}{{a - 1}} \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a > 1}\\{a \le 0}\end{array}} \right.}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a \ge 2}\\{a < 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a \ge 2}\\{a \le 0}\end{array}} \right.{\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( {tm{\kern 1pt} {\kern 1pt} a \ne 1} \right)}\end{array}.\)

Vậy \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a \ge 2}\\{a \le 0}\end{array}} \right.{\kern 1pt} {\kern 1pt} \).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.