Xác định số hạng đầu, công bội và tổng 10 số hạng đầu của các cấp số nhân sau,

Câu hỏi số 648256:

Vận dụng

Xác định số hạng đầu, công bội và tổng 10 số hạng đầu của các cấp số nhân sau, biết:

a) \({S_2} = 4,\;\;{S_3} = 13.\)

b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_4} = \dfrac{2}{{27}}}\\{{u_3} = 243{u_8}}\end{array}} \right.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:648256

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tổng của n số hạng đầu của cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q:\;\;{S_n} = \dfrac{{{u_1}\left( {{q^n} - 1} \right)}}{{q - 1}}.\)

Tổng \(n\) số hạng đầu tiên \({S_n}\)được xác định bởi công thức : \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = {u_1}\dfrac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}} = {u_1}\dfrac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\).

Giải chi tiết

a) Giả sử cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội q, ta có \(\;{S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = \dfrac{{{u_1}\left( {{q^n} - 1} \right)}}{{q - 1}}.\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{S_2} = {u_1} + {u_2} = 4}\\{{S_3} = {S_2} + {u_3} = 13}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} + {u_1}q = 4}\\{{u_3} = 13 - 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1}\left( {1 + q} \right) = 4}\\{{u_1}{q^2} = 9}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{q^2}}}{{1 + q}} = \dfrac{9}{4} \Leftrightarrow 4{q^2} = 9q + 9 \Leftrightarrow 4{q^2} - 9q - 9 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{q = 3 \Rightarrow {u_1} = 1 \Rightarrow {S_{10}} = {u_1}.{q^9} = {{1.3}^9} = 19683}\\{q = - \dfrac{3}{4} \Rightarrow {u_1} = 16 \Rightarrow {S_{10}} = {u_1}.{q^9} = 1.{{\left( {\dfrac{{ - 3}}{4}} \right)}^9} = {{\left( {\dfrac{{ - 3}}{4}} \right)}^9}}\end{array}} \right.\)

b) Gọi \(q\) là công bội của cấp số. Theo giả thiết ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1}{q^3} = \dfrac{2}{{27}}}\\{{u_1}{q^2} = 243.{u_1}{q^7}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1}{q^3} = \dfrac{2}{{27}}}\\{{q^5} = \dfrac{1}{{243}}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{q = \dfrac{1}{3}}\\{{u_1} = 2}\end{array}} \right.\)

Tổng 10 số hạng đầu của cấp số đã cho là:

\({S_{10}} = {u_1}\dfrac{{{q^{10}} - 1}}{{q - 1}} = 2.\dfrac{{{{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)}^{10}} - 1}}{{\dfrac{1}{3} - 1}} = 3\left[ {1 - {{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)}^{10}}} \right] = \dfrac{{59048}}{{19683}}\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.