Trên tập số phức, xét phưong trình \({z^2} + az + b = 0\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\). Có bao nhiêu

Câu hỏi số 651246:

Vận dụng cao

Trên tập số phức, xét phưong trình \({z^2} + az + b = 0\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\). Có bao nhiêu cặp số \(\left( {a,b} \right)\) để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} - 2} \right| = 2\) và \(\left| {{z_2} + 1 - 4i} \right| = 4\) ?

A. 2.

B. 3.

C. 6.

D. 4.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:651246

Phương pháp giải

Chia hai trường hợp: TH1 \({\rm{\Delta }} > 0\); TH2 \({\rm{\Delta < }}0\).

Giải chi tiết

Ta có \({\rm{\Delta }} = {a^2} - 4b\)

TH1. \({\rm{\Delta }} > 0 \Rightarrow {z_1},{z_2} \in \mathbb{R}\)

\(\left| {{z_1} - 2} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{z_1} - 2 = 2}\\{{z_1} - 2 = - 2}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{z_1} = 4}\\{{z_1} = 0}\end{array}} \right.} \right.\)

\(\left| {{z_2} + 1 - 4i} \right| = 4 \Rightarrow {\left( {{z_2} + 1} \right)^2} + 16 = 16 \Leftrightarrow {z_2} + 1 = 0 \Leftrightarrow {z_2} = - 1\).

Với \({z_1} = 4,{z_2} = - 1\) có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{z_1} + {z_2} = - a}\\{{z_1}{z_2} = b}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - 3\left( {{\rm{tm}}} \right)}\\{b = - 4\left( {{\rm{tm}}} \right)}\end{array}} \right.} \right.\)

Với \({z_1} = 0,{z_2} = - 1\) có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{z_1} + {z_2} = - a}\\{{z_1}{z_2} = b}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1\left( {{\rm{tm}}} \right)}\\{b = 0\left( {{\rm{tm}}} \right)}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy TH1 có 2 cặp số \(\left( {a;b} \right)\) thỏa mãn.

TH2. \({\rm{\Delta }} < 0 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{z_1} = x + yi}\\{{z_2} = x - yi}\end{array}} \right.\)

Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| {{z_1} - 2} \right| = 2}\\{\left| {{z_2} + 1 - 4i} \right| = 4}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| {x + yi - 2} \right| = 2}\\{\left| {x - yi + 1 - 4i} \right| = 4}\end{array}} \right.} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(x - 2)}^2} + {y^2} = 4}\\{{{(x + 1)}^2} + {{(y + 4)}^2} = 16}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + {y^2} - 4x = 0\left( 1 \right)}\\{{x^2} + {y^2} + 2x + 8y + 1 = 0}\end{array}} \right.} \right.\)

Lấy \(\left( 2 \right) - \left( 1 \right)\) vế theo vế ta được: \(6x + 8y + 1 = 0 \Rightarrow y = \dfrac{{ - 6x - 1}}{8}\)

\(\begin{array}{*{20}{r}}{}&{\; \Rightarrow {x^2} + {{\left( {\dfrac{{6x + 1}}{8}} \right)}^2} - 4x = 0}\\{}&{\; \Leftrightarrow 100{x^2} - 244x + 1 = 0}\\{}&{\; \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} = \dfrac{{61 + 4\sqrt {231} }}{{50}}}\\{{x_2} = \dfrac{{61 - 4\sqrt {231} }}{{50}}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{y_1} = \dfrac{{ - 416 - 24\sqrt {231} }}{{400}}}\\{{y_2} = \dfrac{{ - 416 + 24\sqrt {231} }}{{400}}}\end{array}} \right.} \right.}\end{array}\)

Vậy TH2 có 2 cặp số \(\left( {a;b} \right)\) thỏa mãn.

Vậy có 4 cặp số \(\left( {a;b} \right)\) thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.