Cho đường tròn (O;R), đường kính AB. Kẻ Ax là tiếp tuyến của đường tròn tâm O. Trên tia Ax
Cho đường tròn (O;R), đường kính AB. Kẻ Ax là tiếp tuyến của đường tròn tâm O. Trên tia Ax lấy điểm C \(C \ne A\)), CB cắt đường tròn tại điểm D. Gọi I là giao điểm của OC và AD. Kẻ AH vuông góc với OC tại điểm H, AH cắt BC tại M.
a) Chứng minh tứ giác DMHI nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh \(OH.OC = {R^2}\) và \(\Delta OHB\) đồng dạng \(\Delta OBC\).
c) Chứng minh \(\dfrac{{MD}}{{MB}} = \dfrac{{HD}}{{HB}}\).
Quảng cáo
a) Chứng minh tứ giác DMHI nội tiếp đường tròn.
Ta có: \(\angle ADB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \angle IDM = {90^0}\).
\(AH \bot OC\) tại H \( \Rightarrow \angle IHM = {90^0}\).
Xét tứ giác DMHI có: \(\angle IDM + \angle IHM = {90^0} + 90 = {180^0}\).
=> DMHI là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng \({180^0}\)).
b) Chứng minh \(OH.OC = {R^2}\) và \(\Delta OHB\) đồng dạng \(\Delta OBC\).
Ta có: \(\angle BAC = {90^0}\) (do Ax là tiếp tuyến của (O)) \( \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại A.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại H, đường cao AH ta có:
\(OH.OC = O{A^2} = {R^2}\) (đpcm)
Mặt khác \(OB = R \Rightarrow OH.OC = O{B^2} \Rightarrow \dfrac{{OH}}{{OB}} = \dfrac{{OB}}{{OC}}\).
Xét \(\Delta OHB\) và \(\Delta OBC\) có:
\(\begin{array}{l}\angle BOC\,\,chung\\\dfrac{{OH}}{{OB}} = \dfrac{{OB}}{{OC}}\,\,\left( {cmt} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \Delta OHB \sim \Delta OBC\,\,\left( {c.g.c} \right)\) (đpcm).
c) Chứng minh \(\dfrac{{MD}}{{MB}} = \dfrac{{HD}}{{HB}}\).
Vì DMHI là tứ giác nội tiếp (theo câu a) nên \(\angle {M_1} = \angle {H_1}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DI).
Xét tứ giác AHDC có: \(\angle AHC = \angle ADC = {90^0}\), mà hai đỉnh H, D kề nhau cùng nhìn AC dưới các góc bằng nhau nên AHDC là tứ giác nội tiếp (dhnb).
\( \Rightarrow \angle {H_1} = \angle {A_1}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CD).
Mặt khác: \(\angle {A_1} = \angle ABD\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AD)
\( \Rightarrow \angle {M_1} = \angle ABD\).
Mà 2 góc này ở vị trí hai góc đồng vị bằng nhau nên MI // AB (dhnb).
\( \Rightarrow \angle {M_2} = \angle HAB\) (hai góc so le trong bằng nhau).
Mà \(\angle {M_2} = \angle {D_2}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HI)
\( \Rightarrow \angle {D_2} = \angle HAB\) (1).
Ta có: \(\Delta OHB \sim \Delta OBC\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \angle {B_1} = \angle {C_1}\) (hai góc tương ứng).
Mà \(\angle {C_1} = \angle {A_2}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DH)
\( \Rightarrow \angle {B_1} = \angle {A_2}\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta DHA\) có:
\(\angle {B_1} = \angle {A_2}\) (theo (2)).
\(\angle HAB = \angle {D_2}\) (theo (1))
\( \Rightarrow \Delta AHB \sim \Delta DHA\,\,\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \angle AHB = \angle AHD\) (2 góc tương ứng)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {180^0} - \angle AHB = {180^0} - \angle AHD\\ \Rightarrow \angle BHM = \angle DHM\end{array}\)
\( \Rightarrow HM\) là phân giác của góc BHD.
Áp dụng tính chất đường phân giác ta có: \(\dfrac{{MD}}{{MB}} = \dfrac{{HD}}{{HB}}\,\,\left( {dpcm} \right)\).
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
