Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn \(4{x^2} + {y^2} + 4{z^2} \le 6y\). Tìm giá trị nhỏ nhất

Câu hỏi số 657096:

Vận dụng cao

Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn \(4{x^2} + {y^2} + 4{z^2} \le 6y\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = \dfrac{8}{{{{(x + 3)}^2}}} + \dfrac{{16}}{{{{(y + 4)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{(z + 1)}^2}}} + 2023\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:657096

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức Cosi \({a^2} + {b^2} \ge 2ab\).

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:

\(\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{{{a^2}}}.\dfrac{1}{{{b^2}}}} = \dfrac{2}{{ab}}\)

\(ab \le \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4}\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} \ge \dfrac{8}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}M = \dfrac{8}{{{{(x + 3)}^2}}} + \dfrac{{16}}{{{{(y + 4)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{(z + 1)}^2}}} + 2023\\\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{8}{{{{(x + 3)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{y}{4} + 1} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{(z + 1)}^2}}} + 2023\\\,\,\,\,\,\,\, \ge \dfrac{8}{{{{(x + 3)}^2}}} + \dfrac{8}{{{{\left( {\dfrac{y}{4} + 1 + z + 1} \right)}^2}}} + 2023\\\,\,\,\,\,\,\, \ge \dfrac{{64}}{{{{\left( {x + 3 + \dfrac{y}{4} + 1 + z + 1} \right)}^2}}} + 2023\\\,\,\,\,\,\,\, \ge \dfrac{{64}}{{{{\left( {x + \dfrac{y}{4} + z + 5} \right)}^2}}} + 2023\end{array}\)

Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

\(4{x^2} + 4 \ge 2\sqrt {4{x^2}.4} = 8x\)

\({y^2} + 16 \ge 2\sqrt {{y^2}.16} = 8y\)

\(4{z^2} + 4 \ge 2\sqrt {4{z^2}.4} = 8z\)

Suy ra: \(8x + 8y + 8z \le 4{x^2} + 4 + {y^2} + 16 + 4{z^2} + 4 = 4{x^2} + {y^2} + 4{z^2} + 24\)

Mà: \(4{x^2} + {y^2} + 4{z^2} \le 6y\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 8x + 8y + 8z \le 6y + 24\\ \Leftrightarrow 8x + 2y + 8z \le 24\\ \Leftrightarrow x + \dfrac{y}{4} + z \le 3\end{array}\)

\(\begin{array}{l}M \ge \dfrac{{64}}{{{{\left( {x + \dfrac{y}{4} + z + 5} \right)}^2}}} + 2023\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{64}}{{{{\left( {3 + 5} \right)}^2}}} + 2023 = 2024\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = z = 1;y = 4\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 2024 khi \(x = z = 1;y = 4.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link