Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn \(4{x^2} + {y^2} + 4{z^2} \le 6y\). Tìm giá trị nhỏ nhất

Câu hỏi số 657096:

Vận dụng cao

Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn \(4{x^2} + {y^2} + 4{z^2} \le 6y\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = \dfrac{8}{{{{(x + 3)}^2}}} + \dfrac{{16}}{{{{(y + 4)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{(z + 1)}^2}}} + 2023\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:657096

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức Cosi \({a^2} + {b^2} \ge 2ab\).

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:

\(\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{{{a^2}}}.\dfrac{1}{{{b^2}}}} = \dfrac{2}{{ab}}\)

\(ab \le \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4}\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} \ge \dfrac{8}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}M = \dfrac{8}{{{{(x + 3)}^2}}} + \dfrac{{16}}{{{{(y + 4)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{(z + 1)}^2}}} + 2023\\\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{8}{{{{(x + 3)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{y}{4} + 1} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{(z + 1)}^2}}} + 2023\\\,\,\,\,\,\,\, \ge \dfrac{8}{{{{(x + 3)}^2}}} + \dfrac{8}{{{{\left( {\dfrac{y}{4} + 1 + z + 1} \right)}^2}}} + 2023\\\,\,\,\,\,\,\, \ge \dfrac{{64}}{{{{\left( {x + 3 + \dfrac{y}{4} + 1 + z + 1} \right)}^2}}} + 2023\\\,\,\,\,\,\,\, \ge \dfrac{{64}}{{{{\left( {x + \dfrac{y}{4} + z + 5} \right)}^2}}} + 2023\end{array}\)

Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

\(4{x^2} + 4 \ge 2\sqrt {4{x^2}.4} = 8x\)

\({y^2} + 16 \ge 2\sqrt {{y^2}.16} = 8y\)

\(4{z^2} + 4 \ge 2\sqrt {4{z^2}.4} = 8z\)

Suy ra: \(8x + 8y + 8z \le 4{x^2} + 4 + {y^2} + 16 + 4{z^2} + 4 = 4{x^2} + {y^2} + 4{z^2} + 24\)

Mà: \(4{x^2} + {y^2} + 4{z^2} \le 6y\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 8x + 8y + 8z \le 6y + 24\\ \Leftrightarrow 8x + 2y + 8z \le 24\\ \Leftrightarrow x + \dfrac{y}{4} + z \le 3\end{array}\)

\(\begin{array}{l}M \ge \dfrac{{64}}{{{{\left( {x + \dfrac{y}{4} + z + 5} \right)}^2}}} + 2023\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{64}}{{{{\left( {3 + 5} \right)}^2}}} + 2023 = 2024\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = z = 1;y = 4\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 2024 khi \(x = z = 1;y = 4.\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link