Cho đường tròn (O) và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Từ điểm M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB
Cho đường tròn (O) và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Từ điểm M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến (O) (với A, B là các tiếp điểm). Gọi C là điểm đối xứng với B qua O, đường thẳng MC cắt đường tròn (O) tại D (D khác C).
1. Chứng minh MAOB là tứ giác nội tiếp.
2. Gọi N là giao điểm của hai đường thẳng AD và MO. Chứng minh rằng MN2 = ND.NA.
3. Gọi H là giao điểm của MO và AB. Chứng minh \({\left( {\dfrac{{HA}}{{HD}}} \right)^2} - \dfrac{{AC}}{{HN}} = 1\).
Quảng cáo
1. Chứng minh MAOB là tứ giác nội tiếp.
Vì MA, MB là tiếp tuyến của (O) (gt) \( \Rightarrow \angle MAO = \angle MBO = {90^0}\).
\( \Rightarrow \angle MAO + \angle MBO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\).
Mà A, B là hai đỉnh đối diện của tứ giác MAOB.
Vậy MAOB là tứ giác nội tiếp (dhnb).
2. Gọi N là giao điểm của hai đường thẳng AD và MO. Chứng minh rằng MN2 = ND.NA.
Ta có: \(\angle MDN = \angle ADC\) (đối đỉnh), \(\angle ADC = \angle ABC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
\( \Rightarrow \angle MDN = \angle ABC\).
Mà \(\angle ABC = \angle ABO = \angle AMO = \angle AMN\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AO).
\( \Rightarrow \angle MDN = \angle AMN\).
Xét \(\Delta MND\) và \(\Delta ANM\) có:
\(\begin{array}{l}\angle ANM\,\,chung\\\angle MDN = \angle AMN\,\,\left( {cmt} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \Delta MND \sim \Delta ANM\,\,\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{MN}}{{NA}} = \dfrac{{ND}}{{MN}}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) \( \Rightarrow M{N^2} = ND.NA\,\,\left( {dpcm} \right)\).
3. Gọi H là giao điểm của MO và AB. Chứng minh \({\left( {\dfrac{{HA}}{{HD}}} \right)^2} - \dfrac{{AC}}{{HN}} = 1\).
Xét \(\Delta MAD\) và \(\Delta MCA\) có:
\(\angle AMC\) chung
\(\angle MAD = \angle MCA\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AD).
\( \Rightarrow \Delta MAD \sim \Delta MCA\,\,\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{MC}} = \dfrac{{MD}}{{MA}}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
\( \Rightarrow M{A^2} = MC.MD\) (1)
Ta có: \(OA = OB\,\,\left( { = R} \right) \Rightarrow O\) thuộc trung trực của AB.
\(MA = MB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) \( \Rightarrow M\) thuộc trung trực của AB.
\( \Rightarrow OM\) là trung trực của AB \( \Rightarrow OM \bot AB\) tại H.
Xét tam giác OAM vuông tại A có đường cao AH, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
\(M{A^2} = MH.MO\) (2)
Từ (1), (2) \( \Rightarrow MC.MD = MH.MO \Rightarrow \dfrac{{MC}}{{MH}} = \dfrac{{MO}}{{MD}}\).
Xét \(\Delta MOC\) và \(\Delta MDH\) có:
\(\angle OMC\) chung
\(\dfrac{{MC}}{{MH}} = \dfrac{{MO}}{{MD}}\,\,\left( {cmt} \right)\)
\( \Rightarrow \Delta MOC \sim \Delta MDH\,\,\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \angle MHD = \angle MCO\) (hai góc tương ứng)
Mà \(\angle MCO = \angle DCB = \angle DAB\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DB)
\( \Rightarrow \angle MHD = \angle DAB\).
Mà \(\angle MHD + \angle DHA = \angle AHM = {90^0}\).
\( \Rightarrow \angle DAB + \angle DHA = {90^0}\) \( \Rightarrow \Delta ADH\) vuông tại D (tam giác có tổng hai góc bằng \({90^0}\)).
\( \Rightarrow HD \bot AN\) tại D.
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ADH có: \(H{A^2} = A{D^2} + H{D^2}\).
Biến đổi \({\left( {\dfrac{{HA}}{{HD}}} \right)^2} - \dfrac{{AC}}{{HN}} = 1\) ta có:
\(\begin{array}{l}{\left( {\dfrac{{HA}}{{HD}}} \right)^2} - \dfrac{{AC}}{{HN}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{A{D^2} + H{D^2}}}{{H{D^2}}} = 1 + \dfrac{{AC}}{{HN}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{A{D^2}}}{{H{D^2}}} + 1 = 1 + \dfrac{{AC}}{{HN}} \Leftrightarrow \dfrac{{A{D^2}}}{{H{D^2}}} = \dfrac{{AC}}{{HN}}\end{array}\)
Xét tam giác AHN vuông tại H, có đường cao HD ta có: \(H{D^2} = AD.DN\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
\( \Rightarrow \dfrac{{A{D^2}}}{{H{D^2}}} = \dfrac{{AC}}{{HN}} \Leftrightarrow \dfrac{{A{D^2}}}{{AD.DN}} = \dfrac{{AC}}{{HN}} \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{DN}} = \dfrac{{AC}}{{HN}} \Leftrightarrow \dfrac{{AD}}{{AC}} = \dfrac{{DN}}{{HN}}\).
Xét \(\Delta ADC\) và \(\Delta NDM\) có:
\(\angle ADC = \angle MDN\) (đối đỉnh)
\(\angle BAC = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow AC \bot AB\). Lại có \(OM \bot AB\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow OM//AC\) (từ vuông góc đến song song) \( \Rightarrow \angle DAC = \angle DNM\) (so le trong)
\( \Rightarrow \Delta ADC \sim \Delta NDM\,\,\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{AC}} = \dfrac{{DN}}{{NM}}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).
Suy ra \({\left( {\dfrac{{HA}}{{HD}}} \right)^2} - \dfrac{{AC}}{{HN}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{DN}}{{NM}} = \dfrac{{DN}}{{HN}} \Leftrightarrow NM = HN\)
Do đó ta cần chứng minh \(NM = HN\).
Theo ý 2. ta có: \(M{N^2} = ND.NA\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AHN đường cao HD ta có: \(N{H^2} = ND.NA\).
Vậy \(M{N^2} = N{H^2} \Leftrightarrow MN = NH\). Do đó ta có điều phải chứng minh \({\left( {\dfrac{{HA}}{{HD}}} \right)^2} - \dfrac{{AC}}{{HN}} = 1\).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
