Cho tam giác \(ABC\), trung tuyến \(AM\). Tia phân giác góc \(AMB\) cắt \(AB\) tại \(D\), tia phân giác

Câu hỏi số 658567:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\), trung tuyến \(AM\). Tia phân giác góc \(AMB\) cắt \(AB\) tại \(D\), tia phân giác góc \(AMC\) cắt \(AC\) tại \(E\).

a) Tứ giác \(BDEC\) là hình gì?

b) Biết \(AB = 6cm,\,\,AM = 8cm,\,\,BC = 10cm\). Tính \(AD\).

c) \(AM\) cắt \(DE\) tại \(I\), chứng minh \(ID = IE\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:658567

Phương pháp giải

a) Áp dụng tính chất tia phân giác.

Sử dụng định lí Thales đảo, chứng minh \(\dfrac{{DB}}{{DA}} = \dfrac{{EC}}{{EA}} \Rightarrow DE\parallel BC\)

Suy ra BDEC là hình bình hành.

b) Dựa vào \(DA + DB = AB;\dfrac{{DA}}{{DB}} = \dfrac{{MB}}{{MA}}\) từ đó tính AD.

c) Kẻ \(IK\parallel AB\,\,\left( {K \in BM} \right)\)

Giải chi tiết

a) Vì \(MD,\,\,ME\) là các phân giác trong \(\Delta AMB,\,\,\Delta AMC\) nên theo tính chất đương phân giác trong tam giác ta có \(\dfrac{{DB}}{{DA}} = \dfrac{{MB}}{{MA}},\,\,\dfrac{{EA}}{{EC}} = \dfrac{{AM}}{{MC}}\)

Mà \(MB = MC\) (vì \(AM\) là trung tuyến của \(\Delta ABC\))

Do đó \(\dfrac{{DB}}{{DA}} = \dfrac{{MB}}{{MA}} = \dfrac{{MC}}{{MA}} = \dfrac{{EC}}{{EA}}\)

\( \Rightarrow DE\parallel BC\) (định lý Thales)

Suy ra tứ giác \(BDEC\) là hình thang.

b) Ta có: \(\dfrac{{DB}}{{DA}} = \dfrac{{MB}}{{MA}}\,\,\left( {cmt} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{y}{x} = \dfrac{5}{8}\,\,\left( {do\,\,MB = \dfrac{1}{2}BC = 5} \right)\\ \Rightarrow 8y = 5x\,\,\left( {AD = x,\,\,BD = y} \right)\end{array}\)

Hơn nữa \(AB = x + y = 6\)

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 6\\5x - 8y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8x + 8y = 48\\5x - 8y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}13x = 48\\x + y = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{48}}{{13}}\\y = \dfrac{{30}}{{13}}\end{array} \right.\)

Vậy \(AD = \dfrac{{48}}{{13}}\,\,\left( {cm} \right)\)

c) Kẻ \(IK\parallel AB\,\,\left( {K \in BM} \right)\)

Khi đó \(BDIK\) là hình bình hành do \(DE\parallel BC,\,\,IK\parallel DB\)

Do đó \(DI = BK\) (tính chất hình bình hành)

Vì \(IK\parallel AB \Rightarrow \dfrac{{BK}}{{BM}} = \dfrac{{AI}}{{AM}}\) (định lý Thales)

\( \Rightarrow \dfrac{{DI}}{{BM}} = \dfrac{{AI}}{{AM}} = \dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{AE}}{{AC}}\) (theo định lý Thales)

Tương tự ta chứng minh được \(\dfrac{{EI}}{{CM}} = \dfrac{{AI}}{{AM}}\)

Suy ra \(\dfrac{{DI}}{{BM}} = \dfrac{{AI}}{{AM}} = \dfrac{{EI}}{{CM}}\)

Mà \(BM = CM\) nên \(DI = EI\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link