Cho các số thực a, b thoả mãn: a > 0, b > 0 và \({(a + b)^3} = 2\left( {1 - {a^2} - {b^2}}

Câu hỏi số 658749:

Vận dụng

Cho các số thực a, b thoả mãn: a > 0, b > 0 và \({(a + b)^3} = 2\left( {1 - {a^2} - {b^2}} \right)\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = \dfrac{1}{{ab}} + \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:658749

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}{(a + b)^3} = 2\left( {1 - {a^2} - {b^2}} \right)\\ \Leftrightarrow {(a + b)^3} + 2{a^2} + 2{b^2} - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {(a + b)^3} + {a^2} + 2ab + {b^2} + {a^2} - 2ab + {b^2} - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {(a + b)^3} + {\left( {a + b} \right)^2} + {\left( {a - b} \right)^2} - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {(a + b)^3} + {\left( {a + b} \right)^2} - 2 = - {\left( {a - b} \right)^2}\end{array}\)

Vì \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow - {\left( {a - b} \right)^2} \le 0\) nên \({(a + b)^3} + {(a + b)^2} - 2 \le 0\) (1)

Đặt \(x = a + b > 0\). Khi đó (1) trở thành:\(\,{x^3} + {x^2} - 2 \le 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} + 2{x^2} - 2x + 2x - 2 \le 0\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 1} \right) + 2x\left( {x - 1} \right) + 2\left( {x - 1} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 2x + 2} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 1} \right] \le 0\\ \Leftrightarrow x - 1 \le 0\,\,\left( {do\,\,{{(x + 1)}^2} + 1 > 0\,\,\forall x} \right)\\ \Leftrightarrow x \le 1\end{array}\)

Do \(x > 0\) nên ta có: \(0 < x \le 1\) hay \(0 < a + b \le 1 \Rightarrow 1 \ge {a^2} + {b^2} + 2ab\).

Khi đó:

\(\begin{array}{l}M \ge \left( {{a^2} + {b^2} + 2ab} \right).M = \dfrac{{{a^2} + {b^2} + 2ab}}{{ab}} + \dfrac{{{a^2} + {b^2} + 2ab}}{{{a^2} + {b^2}}}\\ \Rightarrow M \ge \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{ab}} + 2 + \dfrac{{2ab}}{{{a^2} + {b^2}}} + 1 = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{ab}} + \dfrac{{2ab}}{{{a^2} + {b^2}}} + 3 = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{2ab}} + \left( {\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{2ab}} + \dfrac{{2ab}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right) + 3\end{array}\)

Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:

\({a^2} + {b^2} \ge 2ab \Rightarrow \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{2ab}} \ge \dfrac{{2ab}}{{2ab}} = 1\)

\(\dfrac{{2ab}}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{2ab}} \ge 2\sqrt {\dfrac{{2ab}}{{{a^2} + {b^2}}} \cdot \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{2ab}}} = 2\);

Suy ra: \(M \ge 1 + 2 + 3 = 6\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = \dfrac{1}{2}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của\(M = 6\) khi \(a = b = \dfrac{1}{2}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link