Cho hàm số bậc hai \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(d\)

Câu hỏi số 663543:

Nhận biết

Cho hàm số bậc hai \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(d\) cắt tại hai điểm như trong hình bên. Biết rằng hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\) và \(d\) có diện tích \(S = \dfrac{{125}}{6}\). Tích phân \(\int_2^7(2 x-3) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x\) bằng

A. \( \dfrac{{215}}{3}\).

B. \( \dfrac{{265}}{3}\).

C. \( \dfrac{{245}}{3}\).

D. \( \dfrac{{415}}{3}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:663543

Giải chi tiết

Cách 1: Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{u = 2x - 3}\\{{\rm{\;d}}v = f'\left( x \right){\rm{d}}x}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{d}}u = 2{\rm{\;d}}x}\\{v = f\left( x \right)}\end{array}} \right.} \right.\).

Ta có:

\( = 11f\left( 7 \right) - f\left( 2 \right) - 2\left[ { \dfrac{{\left( {5 + 10} \right).5}}{2} - \dfrac{{125}}{6}} \right] = \dfrac{{215}}{3}\).

Cách 2: Dựa vào đồ thị ta có điểm \(A\left( {2;5} \right)\) và \(B\left( {7;10} \right)\) thuộc đường thẳng \(d\) và Parabol \(\left( P \right)\)

Suy ra đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = \left( {5;5} \right)\)

Phương trình đường thẳng \(d:y = x + 3\)

Gọi \(\left( P \right)\) có phương trình: \(y = a{x^2} + bx + c,(a > 0)\)
\(A,B \in \left( P \right) \Rightarrow \) Hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4a + 2b + c = 5}\\{49a + 7b + c = 10}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = - 4a - 2b + 5}\\{49a + 7b + 5 - 4a - 2b = 10}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = - 4a - 2b + 5}\\{b = 1 - 9a}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 3 + 14a}\\{b = 1 - 9a}\end{array}} \right.} \right.\)

Hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\) và \(d\) có diện tích \(S = \dfrac{{125}}{6}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{125}}{6}a = \dfrac{{125}}{6} \Leftrightarrow a = 1 = > b = - 8;c = 17\)

\(\left( P \right)\) có phương trình: \(y = f\left( x \right) = {x^2} - 8x + 17 \Rightarrow f'\left( x \right) = 2x - 8\)

\( \Rightarrow \int\limits_2^7 {\left( {2x - 3} \right)f'\left( x \right){\rm{d}}x} = \dfrac{{215}}{3}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.