Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) sao cho ứng với mỗi \(m\), hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2}

Câu hỏi số 663544:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) sao cho ứng với mỗi \(m\), hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3mx + \dfrac{1}{3}\) có đúng một điểm cực trị thuộc khoảng \(\left( { - 1;5} \right)\) ?

A. 17.

B. 12.

C. 16.

D. 11.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:663544

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Cách 1: \(y' = 3{x^2} - 6x + 3m\)

\({\rm{\Delta '}} = 9 - 9m\)

\(y' = 3{x^2} - 6x + 3m = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\left( {{x_1} < {x_2}} \right) \Leftrightarrow 9 - 9m > 0 \Leftrightarrow m < 1\)

\(m < 1 \Rightarrow {x_1} = \dfrac{{3 - \sqrt {9 - 9m} }}{3} = 1 - \sqrt {1 - m} ,{x_2} = \dfrac{{3 + \sqrt {9 - 9m} }}{3} = 1 + \sqrt {1 - m} \)

Hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3mx + \dfrac{1}{3}\) có đúng một điểm cực trị thuộc khoảng \(\left( { - 1;5} \right)\) khi và chỉ khi

TH1.

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{\Delta '}} > 0}\\{ - 1 < {x_1} < 5 \le {x_2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 1}\\{ - 1 < 1 - \sqrt {1 - m} < 5}\\{5 \le 1 + \sqrt {1 - m} }\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 1}\\{ - 2 < - \sqrt {1 - m} < 4}\\{\sqrt {1 - m} \ge 4}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 1}\\{2 > \sqrt {1 - m} > - 4{\rm{\;}}\left( {vn} \right){\rm{.\;}}}\\{\sqrt {1 - m} \ge 4}\end{array}} \right.} \right.\)

TH2.
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{\Delta '}} > 0}\\{{x_1} \le - 1 < {x_2} < 5}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 1}\\{ - 1 < 1 + \sqrt {1 - m} < 5}\\{1 - \sqrt {1 - m} \le - 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 1}\\{ - 2 < \sqrt {1 - m} < 4}\\{\sqrt {1 - m} \ge 2}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 1}\\{2 \le \sqrt {1 - m} < 4}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 1}\\{4 \le 1 - m < 16}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 1}\\{ - 3 \ge m > - 15}\end{array} \Leftrightarrow - 15 < m \le - 3} \right.} \right.} \right.\)

\( \Rightarrow m \in \left\{ { - 14; - 13; - 12; - 11; - 10; - 9; - 8; - 7; - 6; - 5; - 4; - 3} \right\}\)

Cách 2:

\(y' = 3{x^2} - 6x + 3m\)

YCBT \( \Leftrightarrow \) PT \(3{x^2} - 6x + 3m = 0\) có 2 nghiệm phân biệt trong đó có đúng 1 nghiệm thuộc khoảng \(\left( { - 1;5} \right)\).

Xét \(3{x^2} - 6x + 3m = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = {x^2} - 2x = - m\).

Hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} - 2x\) có \(f'\left( x \right) = 2x - 2\). Cho \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1\). Ta có bảng biến thiên

Từ BBT suy ra điều kiện \(3 \le - m < 15 \Leftrightarrow - 15 < m \le - 3 \Rightarrow m \in \left\{ { - 14; - 13; \ldots ; - 3} \right\}\). Vậy có 12 giá trị thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.