Cho các số thực dương \(x,y\) thỏa mãn \({2023^{4{x^2} - y + 7x + 10}} - \dfrac{{{{\left( {2x + 1}

Câu hỏi số 667179:

Vận dụng cao

Cho các số thực dương \(x,y\) thỏa mãn \({2023^{4{x^2} - y + 7x + 10}} - \dfrac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}{{y - 3x - 9}} = 0\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = y - 11x\).

A. \(9\).

B. \(3\).

C. \(11\).

D. \( - 2\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:667179

Phương pháp giải

Biến đổi phương trình về dạng dùng hàm đặc trưng và xét hàm số.

Giải chi tiết

Do \(x > 0 \Rightarrow 2x + 1 > 1 > 0\).

\({2023^{4{x^2} - y + 7x + 10}} - \dfrac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}{{y - 3x - 9}} = 0\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{{{2023}^{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{{{2023}^{y - 3x - 9}}}}{{y - 3x - 9}}\).

Đặt \(f\left( t \right) = \dfrac{{{{2023}^t}}}{t}\;\left( {t > 1} \right)\)

\( \Rightarrow f'\left( t \right) = \dfrac{{t{{.2023}^t}.\ln 2023 - {{2023}^t}}}{{{t^2}}} = \dfrac{{{{2023}^t}\left( {t\ln 2023 - 1} \right)}}{{{t^2}}} > 0,\forall t > 1\)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}f'\left( t \right) > 0\\f\left[ {{{\left( {2x + 1} \right)}^2}} \right] = f\left( {y - 3x - 9} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow {\left( {2x + 1} \right)^2} = y - 3x - 9\\ \Leftrightarrow y - 11x = 4{x^2} - 4x + 10 = {\left( {2x - 1} \right)^2} + 9\end{array}\)

\(M = y - 11x = {\left( {2x - 1} \right)^2} + 9 \ge 9\).

Giá trị nhỏ nhất của \(M = y - 11x\)là \(9\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.