Cho một miếng tôn có diện tích \(10000\pi \) \(\left( {c{m^2}} \right)\). Người ta dùng miếng tôn hình

Câu hỏi số 667178:

Vận dụng

Cho một miếng tôn có diện tích \(10000\pi \) \(\left( {c{m^2}} \right)\). Người ta dùng miếng tôn hình tròn để tạo thành hình nón có diện tích toàn phần đúng bằng diện tích miếng tôn. Khi đó khối nón có thể tích lớn nhất được tạo thành sẽ có bán kính hình tròn đáy bằng bao nhiêu?

A. \(25\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

B. \(50\sqrt 2 \left( {{\rm{cm}}} \right)\).

C. \(20\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

D. \(50\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:667178

Phương pháp giải

Từ diện tích toàn phần bằng diện tích miếng tôn tính l theo R

Từ đó tình thể tích theo R, khảo sát hàm số và tìm GTLN của thể tích theo R.

Giải chi tiết

Ta có diện tích miếng tôn là \(S = \pi .10000{\rm{ }}\left( {c{m^{\rm{2}}}} \right)\).

Diện tích toàn phần của hình nón là: \({S_{tp}} = \pi {R^2} + \pi .R.l\).

Thỏa mãn yêu cầu bài toán ta có: \(\pi {R^2} + \pi .R.l = 10000\pi \)\( \Leftrightarrow {R^2} + R.l = 10000 = A\) \( \Leftrightarrow l = \dfrac{A}{R} - R\).

Thể tích khối nón là:

\(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}.h\)

\( \Leftrightarrow V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}.\sqrt {{l^2} - {R^2}} \)

\( \Leftrightarrow V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}.\sqrt {{{\left( {\dfrac{A}{R} - R} \right)}^2} - {R^2}} \)

\( \Leftrightarrow V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}.\sqrt {\dfrac{{{A^2}}}{{{R^2}}} - 2A} \)

\( \Leftrightarrow V = \dfrac{1}{3}\pi .\sqrt {{A^2}.{R^2} - 2A.{R^4}} \)

\( \Leftrightarrow V = \dfrac{1}{3}\pi .\sqrt {\dfrac{{{A^3}}}{8} - 2A{{\left( {{R^2} - \dfrac{A}{4}} \right)}^2}} \)

\( \Leftrightarrow V \le \dfrac{1}{3}\pi .\dfrac{A}{2}\sqrt {\dfrac{A}{2}} \).

Dấu bằng xảy ra khi \(R = \sqrt {\dfrac{A}{4}} = \sqrt {\dfrac{{10000}}{4}} = 50\), vậy \(V\) đạt GTLN khi \(R = 50\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.