Giả sử phương trình \({25^x} + {15^x} = {6.9^x}\) có một nghiệm duy nhất được viết dưới dạng

Câu hỏi số 668203:

Vận dụng

Giả sử phương trình \({25^x} + {15^x} = {6.9^x}\) có một nghiệm duy nhất được viết dưới dạng \(\dfrac{a}{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_b}c - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_b}d}}\), với a là số nguyên dương và \({\rm{b}},{\rm{c}},{\rm{d}}\) là các số nguyên tố.

Tính \(S = {a^2} + b + c + d\)

A. \({\rm{S}} = 19\).

B. \({\rm{S}} = 11\).

C. \({\rm{S}} = 12\)

D. \(S = 14\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:668203

Phương pháp giải

Chia cả 2 vế cho \({15^x}\) và đưa về dạng phương trình bậc hai.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}{25^x} + {15^x} = {6.9^x} \Leftrightarrow \dfrac{{{{25}^x}}}{{{{25}^x}}} + \dfrac{{{{15}^x}}}{{{{25}^x}}} = 6.\dfrac{{{9^x}}}{{{{25}^x}}}\\ \Leftrightarrow 1 + {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^x} = 6.{\left( {\dfrac{9}{{25}}} \right)^x}\\ \Leftrightarrow 6.{\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^{2x}} - {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^x} - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^x} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = {\log _{\dfrac{3}{5}}}\dfrac{1}{2}\\{\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^x} = - \dfrac{1}{3}\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Ta có \(x = {\log _{\dfrac{3}{5}}}\dfrac{1}{2} = {\log _{\dfrac{3}{5}}}1 - {\log _{\dfrac{3}{5}}}2 = 0 - {\log _{\dfrac{3}{5}}}2 = - {\log _{\dfrac{3}{5}}}2\)

\( = \dfrac{{ - 1}}{{{{\log }_2}\dfrac{3}{5}}} = \dfrac{{ - 1}}{{{{\log }_2}3 - {{\log }_2}5}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 2\\c = 3\\d = 5\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow S = {a^2} + b + c + d = 1 + 2 + 3 + 5 = 11\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.