Xét các số thực dương \(a,b,c\) lớn hơn 1 ( với \(a > b\) ) thỏa mãn \(4\left(

Câu hỏi số 668204:

Vận dụng

Xét các số thực dương \(a,b,c\) lớn hơn 1 ( với \(a > b\) ) thỏa mãn \(4\left( {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}c + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_b}c} \right) = 25{\rm{lo}}{{\rm{g}}_{ab}}c\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_b}a + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}c + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_c}b\) bằng:

A. 5 .

B. 8 .

C. \(\dfrac{{17}}{4}\).

D. 3 .

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:668204

Phương pháp giải

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x = {\log _b}a\\y = {\log _a}c\\z = {\log _c}b\end{array} \right. \Rightarrow yz = {\log _a}c.{\log _c}b = {\log _a}b = \dfrac{1}{x}\)

Từ giả thiết tìm được \(x\) và \(yz\) từ đó tìm GTNN của \(x + y + z\)

Giải chi tiết

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x = {\log _b}a\\y = {\log _a}c\\z = {\log _c}b\end{array} \right. \Rightarrow yz = {\log _a}c.{\log _c}b = {\log _a}b = \dfrac{1}{x}\)

\(\begin{array}{l}4\left( {{{\log }_a}c + {{\log }_b}c} \right) = 25{\log _{ab}}c = \dfrac{{25}}{{{{\log }_c}ab}} = \dfrac{{25}}{{{{\log }_c}a + {{\log }_c}b}}\\ \Leftrightarrow 4\left( {y + \dfrac{1}{z}} \right) = \dfrac{{25}}{{\dfrac{1}{y} + z}} \Leftrightarrow \dfrac{{4\left( {yz + 1} \right)}}{z} = \dfrac{{25y}}{{yz + 1}} \Leftrightarrow 4{\left( {yz + 1} \right)^2} = 25yz\\ \Leftrightarrow 4{\left( {yz} \right)^2} + 8yz + 4 = 25yz\\ \Leftrightarrow 4{\left( {yz} \right)^2} - 17yz + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}yz = 4 \Rightarrow x = \dfrac{1}{4}\\yz = \dfrac{1}{4} \Rightarrow x = 4\end{array} \right.\end{array}\)

Mà \(a > b > 1 \Rightarrow 0 < {\log _a}b < 1 \Rightarrow 0 < \dfrac{1}{x} < 1 \Rightarrow x > 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}yz = \dfrac{1}{4}\\x = 4\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {\log _b}a + {\log _a}c + {\log _c}b = x + y + z \ge x + 2\sqrt {yz} = 4 + 2\sqrt {\dfrac{1}{4}} = 5\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.